Промежутки расширенной числовой прямой

Пусть . Промежутками расширенной числовой прямой называются следующие множества:

— отрезок числовой прямой;

— интервал числовой прямой;

— полуинтервалы (полуотрезки) числовой прямой.

Точки a и b называют концами промежутка; точки x такие, что a < x < b называют внутренними точками промежутка.

Если a и b — это числа, т.е. принадлежат , и , то промежуток с концами a и b называют конечным промежутком и число называют длиной конечного промежутка (или его мерой).

Свойство промежутков

Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством: если точки , принадлежат некоторому промежутку с концами , то весь отрезок принадлежит этому промежутку. Например, как это показано на рис. 17.

или Рис. 17

Окрестности точек числовой прямой

Окрестностью конечной точки числовой прямой называется любой интервал, содержащий точку , (рис. 18);

обозначение окрестности точки : .

В частности, симметричный относительно точки интервал называется e-окрестностью конечной точки , (рис. 18); обозначение e -окрестности точки : ;

e -окрестность точки х ₀ можно описать как множество следующим образом:

 

Рис. 18

 

 

Определения e-окрестностей бесконечно удаленных точек:

Рис. 19	Рис. 20	Рис. 21

Пример (e -окрестности точек )

Запишем e -окрестности некоторых точек, положив e = 1 и e = 0,1:

если e = 1, то	, , , ;
если e = 0,1, то	, , , .