Примеры выполнения операций над множествами

Пример 1 (выполнение операций над конечными множествами)

Даны два конечных числовых множества А и В. Изобразить эти множества диаграммой Эйлера-Венна. Записать элементы множеств , , , , , .

а) , ; б) , .

 

Решение

а) Так как множества А и В имеют общие элементы, то для них диаграмма Эйлера-Венна имеет такой вид, как на рис. 10. Выполняем операции над множествами по их определениям:

Рис. 10

 

; ;
; ;

б) Множества А и В не содержат одинаковых элементов, отображаем это диаграммой Эйлера-Венна так, как на рис. 11.

Рис. 11

Записываем результаты выполнения операций над множествами A и B:

; ; ; ;

; .

 

Пример 2 (выполнение операций над бесконечными множествами)

Даны два бесконечных числовых множества и .

Записать промежутками множества A, B, , , , и изобразить эти множества геометрически на координатной прямой OX.

Множества и описать и построить на координатной плоскости XOY.

 

Решение

Находим множества А и В и изображаем их элементы на координатной оси:

.

.

Для выполнения операций объединения, пересечения и разности множеств удобно множества А и В изобразить на одной координатной прямой (можно и кругами Эйлера):

Теперь выполняем операции над множествами, пользуясь определениями этих операций:

	;
	;
	;
	.
Множества и описываем по определению декартова произведения множеств и строим на координатной плоскости XOY:

 

Пример 3 (определение элементов множества)

Записать элементы следующих множеств , .

Решение

.

Ответ: , .

 

Пример 4 (множества точек на координатной плоскости)

Построить элементы множества на коорд. плоскости XOY.

Решение

 

— это множество точек в полосе между прямыми x = –1 и x = 1, включающее в себя и точки на самих прямых;

— это множество точек, расположенных выше прямой y = x; оно включает в себя и точки на самой прямой;

пересечением множеств A ₁ и A ₂ определяем искомое множество A.

 

Пример 5 (разбиение множества на подмножества)

Дано множество А натуральных чисел от 10 до 25 включительно. Разбить множество А на подмножества по принципу деления его элементов на числа 3 и 2.

Решение

Записываем множество А списком его элементов:

.

По признаку деления чисел а на числа 3 и 2 определяются следующие четыре непересекающиеся подмножества:

— множество чисел а, которые делятся на число 3, но не делятся на число 2;

— множество чисел а, которые делятся на число 2, но не делятся на число 3;

— множество чисел а, которые делятся и на число 3, и на число 2, т.е делятся на число 6;

— множество чисел а, которые не делятся ни на число 3, ни на число 2.

Очевидно, что множества , , , не пересекаются и их объединением получится данное множество А:

Теперь распределяем числа а по множествам , , , :

,

,

,

.