Решение. 1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки:1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки: Подставляя координаты точек , получим: – уравнение ребра . Длина стороны равна длине вектора . ед. 2) Площадь грани равна площади , которую можно найти через векторное произведение по формуле: кв. ед. Уравнение грани – это уравнение плоскости через три точки: Подставляя в это уравнение координаты точек , получим уравнение грани : 3) Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов . Найдем координаты векторов: Тогда смешанное произведение равно: куб. ед. 4) Из уравнения грани : найдем координаты вектора нормали , расположенного перпендикулярно плоскости , а значит параллельно высоте, опущенной из вершины . Используем каноническое уравнение прямой в пространстве: Подставляя вместо координаты точки , а вместо координаты вектора нормали , получим уравнение высоты: Длина высоты – расстояние от точки до плоскости . Используем формулу Получим: ед. 5) Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами . Имеем: Заметим, что угол по определению всегда острый. Поэтому, если окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю! 6) Угол между гранями и найдем как угол между нормалями к этим граням. Плоскость имеет уравнение и, следовательно, её нормаль . Напишем уравнение плоскости : Тогда её нормаль . Находим косинус угла между векторами и : Замечание. Угол по определению всегда острый. Поэтому, если косинус окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю! Ответ:1) ед.; 2) : ; кв. ед.; 3) куб. ед.; 4) – уравнение высоты; длина высоты ед.; 5) 6)
|