Задание №9.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы из задания №1. Собственными называются число и ненулевой вектор , удовлетворяющие уравнению: , где – матрица. Собственные числа находятся из характеристического уравнения: , где – единичная матрица. Для нахождения собственного вектора , соответствующего собственному числу , надо решить однородную систему уравнений: . Составляем и решаем характеристическое уравнение для матрицы : . Найдем собственные векторы из системы уравнений: Подставляя , получим Система имеет бесчисленное множество решений. Положим , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу . Аналогично, для имеем Положим , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу . Ответ:
Замечания. 1) Если вектор является собственным вектором, соответствующим собственному числу , то для любого числа вектор – тоже собственный вектор, соответствующий . 2) Одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов. 3) Собственному числу, кратности больше единицы, может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов (например, для симметрических матриц).
|