Производные показательной и степенной функций
Теорема 7. Степенная функция y = x a(aÎR) дифференцируема при любом x ÎR и справедлива формула: (x a)' = a × x a-1. Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x a, предполагая x >0: ln y = a× ln x Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x a неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:
Выразим отсюда y ': Подставим в полученное равенство y = x a:
Теорема доказана.
Теорема 8. Показательная функция y = ax (a >0, a #1) дифференцируема при любом x ÎR и справедлива формула: (ax)' = ax × ln a Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax: ln y = x ln a. Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:
Выразим отсюда y ': y ' = y × ln a. Подставим в полученное равенство y = ax : (ax)'= ax × ln a Теорема доказана. Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид: (ex)' = ex × ln e или (ex)' = ex. Теорема 9. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U (x)) V ( x ) дифференцируема в точке x и справедлива формула: ((U (x)) V (x))' = (U (x)) V (x) × V ' (x) ln U (x) + U ' (x) × V (x) ×(U (x)) V (x)-1. Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y =(U (x)) V ( x ) по основанию e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.
|
