Схема исследования функции. Построение графика

1) Найти область определения функции y = f (x) – множество D(f) тех значений x, при которых y = f (x) имеет смысл.

 

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T, что

f (x +T) = f (x) для любого x Î D(f).

Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить ее график только на некотором отрезке длиной периода T.

Затем продолжить график на всю область определения, разбивая ее на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

 

3) Исследовать функцию на четность и нечетность: выяснить, выполняются ли равенства:

f (- x) = f (x) для любого x Î D(f) – четность,

или f (- x) = - f (x) для любого x Î D(f) – нечетность.

Это позволяет узнать есть ли симметрия графика:

относительно оси O y – четная

или относительно начала координат – нечетная.

4) Найти точки пресечения графика функции с осями координат:

а) с осью O y: точка (0; f (o)), если OÎD(f),

б) с осью O y: точка (x _k;0), где x _kÎD(f) и является решением уравнения f (x) = 0.

 

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f (x) > 0 (при этом график функции расположен выше оси O x) и f (x) < 0 (при этом график функции расположен ниже оси O x).

 

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §6, п.1).

 

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1).

 

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2 и п.3).

 

9) Найти множество E(f) значений функции.

 

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4).

 

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x +2) e ^{- x} и построить ее график.

1) D(y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y (- x) # y (x) и y (- x) # - y (x), то функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной.

4) Точка пересечения графика

с O x: (-2;0), с O y: (0;2)

5) При x Î (-¥;-2) функция отрицательная,

при x Î (-2;+¥) функция положительная.

6) Функция непрерывна при x Î R.

7) Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: y = k x + b.

а)

k=0 при x®+¥;

.

b=0 при x®+¥;.

Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при x ®+¥.

 

б)

при x ®-¥ наклонной асимптоты нет.

8) f ’(x) = ((x +2) e ^{- x} )’ = 1× e ^{- x} +(x +2)×(- e ^{- x} ) = e ^{- x} (1- x -2) = -(x +1) e ^{- x} .

D(y ’) = R.

y ’ = 0: -(x +1) e ^{- x} = 0 Þ x = -1, f (-1) = 1× e ¹ = e.

 

 

при x Î (-¥;-1) f (x) возрастает,

при x Î(-1;+¥) f (x) убывает,

при x = -1 f _{m ax} (-1) = (-1+2) e ^-(-1) = e.

9) E(f) = (-¥; e), так как

и f _{m ax} (-1) = e.

10) f ”(x) = (-(x +1) e ^{- x})’ = -1 e ^{- x} +(x +1) e ^{- x} = e ^{- x} (x +1-1) = xe ^{- x}.

D(f ”) = R

f ”(x) = 0: xe ^{- x} = 0 Þ x = 0, f (0) = 2.

 

 

при x Î (-¥;0) график f (x) выпуклый

при x Î (-(0;+¥) график f (x) вогнутый

Точка (0;2) – точка перегиба графика.

11) Сведем результаты проведенного исследования в таблицу и построим график (рис. 12)

x	-¥;-1	-1	-1;0		0;+¥
знак f ’(x)	+		-	-	-
знак f ”(x)	-	-	-		+
F (x)		e

 

Рис. 12