Интегрирование рациональных дробей. 1) Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей.
1) Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей. Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m<n. В противном случае (если m ³ n) она называется неправильной. Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов: I II III IV
Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби. Пример 20. Представить дробь Так как высшая степень числителя равна 4, а знаменателя – 2, то данная дробь неправильная (4 > 2). Разделим числитель на знаменатель:
Следовательно, дробь можно записать в виде:
Ответ:
Теорема 4. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби а) Найти корни многочлена Qn (x) и представить его в виде произведения простых множителей:
Где
б) Записать разложение дроби с неопределенными коэффициентами:
в) Определить коэффициенты
суммарное число которых равно n, методом неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо все разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби Pm (x). Приравнивания в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – интересующие нас коэффициенты.
Пример 21. Разложить дробь 1) Данная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:
2) Запишем разложение данной дроби на сумму простых дробей:
3) Для нахождения коэффициентов A, B и C приводим разложение к общему знаменателю и приравняем их числители.
Следовательно:
|
.
.
в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.
.
.
(m<n) на сумму простых дробей выполняют по следующей схеме:
,
, 
, 
, 
, 
на сумму простых дробей.
.
