Интегрирование тригонометрических выражений

 

1) Интеграл вида

а) Если n - четное число и m - четное, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:

,

б) Если одно из чисел m или n – нечетное, то выполняют замену:

t = sin x, если n – нечетное;

t = cos x, если m – нечетное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дроби.

в) Если оба числа m и n – нечетные, то интеграл берется как в случае замены:

t = sin x, так и t = cos x.

Пример 25.

Ответ:

Пример 26.

Ответ:

Пример 27.

Ответ:

 

 

2) Интегралы вида:

; ; .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

Пример 28.

Ответ:

 

3) Интегралы вида , где f (u;V) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью замены:

;

;

;

Пример 29.

Ответ:

 

 

4) Интегралы вида , где f (u;V) – рациональная функция двух переменных.

 

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

;

Пример 30.

 

Ответ:

 

 

5) Интегралы вида ; , где

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

;

Или с помощью замены:

;

или .

 

Пример 31.

Ответ:

 

Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

 

1) Интеграл вида

Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичным преобразованиям и замены для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа.