Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на [ a;b ] и F (x) – какая-либо ее первообразная на [ a;b ]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) по отрезку [ a;b ] равен разности значений функции F(x) в точках b и a: Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция
Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определенного интеграла
Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:
Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:
Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определенным и неопределенным интегралами и дает правило вычисления определенного интеграла. Замечание. Формулу Ньютона-Лейбница часто записывают в виде:
Где используется обозначение:
Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница Задача вычисления определенного интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции. Пример 1.
Ответ:
Пример 2.
Ответ:
|
также является на [ a;b ] первообразной для f (x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:
для любого x Î [ a;b ] (**)
, рассмотрим равенство (**) при x = a:
для xÎ [ a;b ]
,
.
