Геометрический смысл определенного интеграла

1)

.

 

2) Если область ограничена двумя кривыми y = f (x) и y = g (x), причем при xÎ [ a;b ] f (x) ³ g (x), то площадь области ограниченным кривыми y = f (x); y = g (x) и прямыми x = a, x = b вычисляется по формуле:

 

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4)

5) Если функция f (x) интегрируема на отрезках [ a;c ] и [ c;b ], то она интегрируема и на [ a;b ], причем верно равенство:

При любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

6) Если f (x) ³ 0 при xÎ; [ a;b ], то

7) Если на [ a;b ] f (x) ³ g (x), то

 

8) Теорема 2 (о среднем значении определенного интеграла).

Если функция f (x) непрерывна на [ a;b ], то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Доказательство:Так как f (x) на [ a;b ] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “ m ” и наибольшего “ M ” значений. Тогда m £ f (x) £ M для любого x Î [ a;b ]. По свойству 7 определенного интеграла можно записать неравенство:

Так как m и M – постоянные числа, то

(*)

Вычислим по определению определенного интеграла

Тогда неравенство (*) можно переписать:

Разделим все части полученного неравенства на (b - a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

Так как f (x) непрерывна на [ a;b ], тона принимает все значения, заключенные между наименьшим “ m ” и наибольшим “ M ” значениями. Значит найдется на [ a;b ] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

 

Вычисление определенного интеграла