Понятие неопределенного интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных данной функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

В обозначении знак называется знаком интеграла, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, - переменной интегрирования.

 

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на (a; b), то она имеет на (a; b) первообразную и неопределенный интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции f (x) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f (x).

 

Свойства неопределенного интеграла.

Из определений первообразной F (x) неопределенного интеграла от данной функции f (x) на некотором промежутке следуют свойства неопределенного интеграла:

1. .

2. .

3. , где С – произвольная постоянная.

4. , где k = const.

5.

 

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии. Что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

 

Таблица основных неопределенных интегралов.

Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, то есть по заданной производной f (x) надо восстановить начальную функцию F (x). Тогда из определения 2 и таблицы производных получается таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

В формулах 1-16 С – произвольная постоянная.

Замечание. Интеграл не от любой элементарной функции является элементарной функцией. Параметрами могут служить следующие интегралы, часто встречающиеся в задачах:

- интеграл Пуассона,

- интеграл Френеля,

- интегральный логарифм,

- интегральный косинус и синус.

Указанные функции существуют, имеют важное прикладное значение. Для них составлены таблицы значений.