Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Первообразная функция и ее свойства





Определение 1. Функция F (x) называется первообразной функции f(x), на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство:

F ’(x) = f (x).

Пример 1. Функция F ’(x) = sin x является первообразной для функции f (x) = cos x на бесконечном промежутке (-¥;+¥), так как

F ’(x) = (sin x)’ = cos x = f (x) для x Î (-¥;+¥)

Нетрудно убедиться, что функция F 1(x) = sin x +5 и F 2(x) = sin x -10 также являются первообразными для функции f (x) = cos x на (-¥;+¥). То есть если для функции f (x) на некотором промежутке существует первообразная, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f (x) есть множество, которое задается формулой F (x) + C, где C – любая постоянная величина.

 

Теорема 1 (об общем виде первообразной).

Пусть F (x) – одна из первообразных для функции f (x) на интервале (a; b). Тогда любая другая первообразная для f (x) на (a; b) представима в виде

F (x)+C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F (x)+C, где С – некоторое число, также является первообразной для f (x) на (a; b).

По условию теоремы F (x) на (a; b) является первообразной для f (x), поэтому выполняется равенство:

F ’(x) = f (x) при любом x Î (a; b).

Так как С – некоторое число, то

(F (x)+С)’ = F ’(x)+С’ = F ’(x)+0 = f (x).

Отсюда следует: (F (x)+С)’ = f (x) при любом x Î (a; b), а значит F (x)+С на (a; b) является первообразной для f (x).

Во-вторых, проверим, что если F (x) и Ф(x) – две первообразные для функции f (x) на (a; b), то они различаются между собой на постоянную величину, то есть F (x) – Ф(x) = const.

Обозначим j(x) = F (x) - Ф(x). Ток как по предположению функции F (x) и Ф(x) первообразные на (a; b) для f (x), то выполняются равенства: F ’(x) = f (x) и Ф’(x) = f (x) при любом x Î (a; b). Следовательно, j’(x) = F ’(x)-Ф’(x) = f (x)- f (x) = 0 при любом x Î (a; b).

Функция j(x) непрерывна и дифференцируема при x Î (a; b). Значит, на любом [ x 1; x 2] Ì (a; b) функция j(x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î (x 1; x 2) для которой выполняется равенство:

j(x 2) - j(x 1) = j’()× (x 2- x 1) = 0×(x 2- x 1) = 0.

Þ j(x 2) - j(x 1) = 0 Þ j(x 2) = j(x 1) Þ j(x) = const.

Значит, F (x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F (x) для функции f (x) на промежутке (a; b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F (x)+С, где С – постоянная величина. Этот вид первообразных носит название ее общего вида, при этом С –произвольная постоянная величина.

 







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1130. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Объект, субъект, предмет, цели и задачи управления персоналом Социальная система организации делится на две основные подсистемы: управляющую и управляемую...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия