Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Первообразная функция и ее свойства





Определение 1. Функция F (x) называется первообразной функции f(x), на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство:

F ’(x) = f (x).

Пример 1. Функция F ’(x) = sin x является первообразной для функции f (x) = cos x на бесконечном промежутке (-¥;+¥), так как

F ’(x) = (sin x)’ = cos x = f (x) для x Î (-¥;+¥)

Нетрудно убедиться, что функция F 1(x) = sin x +5 и F 2(x) = sin x -10 также являются первообразными для функции f (x) = cos x на (-¥;+¥). То есть если для функции f (x) на некотором промежутке существует первообразная, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f (x) есть множество, которое задается формулой F (x) + C, где C – любая постоянная величина.

 

Теорема 1 (об общем виде первообразной).

Пусть F (x) – одна из первообразных для функции f (x) на интервале (a; b). Тогда любая другая первообразная для f (x) на (a; b) представима в виде

F (x)+C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F (x)+C, где С – некоторое число, также является первообразной для f (x) на (a; b).

По условию теоремы F (x) на (a; b) является первообразной для f (x), поэтому выполняется равенство:

F ’(x) = f (x) при любом x Î (a; b).

Так как С – некоторое число, то

(F (x)+С)’ = F ’(x)+С’ = F ’(x)+0 = f (x).

Отсюда следует: (F (x)+С)’ = f (x) при любом x Î (a; b), а значит F (x)+С на (a; b) является первообразной для f (x).

Во-вторых, проверим, что если F (x) и Ф(x) – две первообразные для функции f (x) на (a; b), то они различаются между собой на постоянную величину, то есть F (x) – Ф(x) = const.

Обозначим j(x) = F (x) - Ф(x). Ток как по предположению функции F (x) и Ф(x) первообразные на (a; b) для f (x), то выполняются равенства: F ’(x) = f (x) и Ф’(x) = f (x) при любом x Î (a; b). Следовательно, j’(x) = F ’(x)-Ф’(x) = f (x)- f (x) = 0 при любом x Î (a; b).

Функция j(x) непрерывна и дифференцируема при x Î (a; b). Значит, на любом [ x 1; x 2] Ì (a; b) функция j(x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î (x 1; x 2) для которой выполняется равенство:

j(x 2) - j(x 1) = j’()× (x 2- x 1) = 0×(x 2- x 1) = 0.

Þ j(x 2) - j(x 1) = 0 Þ j(x 2) = j(x 1) Þ j(x) = const.

Значит, F (x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F (x) для функции f (x) на промежутке (a; b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F (x)+С, где С – постоянная величина. Этот вид первообразных носит название ее общего вида, при этом С –произвольная постоянная величина.

 







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1130. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия