Студопедия — Теоремы о конечных пределах
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоремы о конечных пределах






 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (1 СЕМЕСТР)

 

Теорема 1. Функция f (x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f (x)=А+ a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g (x) в точке ,то существует конечный предел суммы этих функций в точке ,равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f (x)= А + a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x 0.

Пусть, , тогда по теореме 1 g (x)= B + β;(x), где β;(x) – бесконечно малая функция в точке x 0. Рассмотрим сумму этих функций: f (x) + g (x) = = A + a(x) + B + β;(x) = (A+B) + a(x) + β;(x), обозначим γ;(x) = a(x) + β;(x) -

бесконечно малая функция в точке x 0 ( по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f (x)+ g (x)= A+B +γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g (x) в точке ,то существуетпредел произведения этих функций в точке ,равный произведению пределов этих функций.

Доказательство:Пусть = А, тогда по теореме 1: f (x)= А + a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g (x) = B + β;(x), где β;(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f (x) × g (x) = (А + a(x))(B + β;(x)) = AB + B × a(x) + A×β;(x) + a(x) × β;(x).

Обозначим: B × a(x) + ;(x) + a(x)β;(x) = γ;(x) – бесконечно малая функция в точке ( посвойствам бесконечно малых функций). Получим: f (xg (x) = A×B + γ;(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f (x) и g (x), причем , то существует предел частного этих функций в точке ,равный частному пределов этих функций.

То есть: если существует = А и существует , B ≠0, то существует .

(Доказать самостоятельно)

Теорема 5 (о пределе трех функций)

Если существуют равные конечные пределы функций f (x) и g (x) в точке :

= А

И при стремлении x к x0 выполняется неравенство:

,

то существует .

Доказательство. Возьмем любое e > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим

(*)

Так как

,

то найдется такое d 1, что для всех x ¹ x 0, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

,

или, что, то же,

(*)

Аналогично для функции g (x) найдется такое d2, что для всех x ¹ x 0, удовлетворяющих условию

будет верно неравенство

(*)

Из неравенств, отмеченных (*) следует, что

,

или, что, то же самое

Для всех x ¹ x 0, удовлетворяющих условию , где d - меньшее из d 1 и d 2. Это означает, что

.

Теорема доказана.

6. Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции в точке x = 0 существует и равен 1, то есть: .

Доказательство:

1) Пусть x > 0 (x )

(1)

; ;

(x – в радианах)

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

Так как все части двойного неравенства положительные, можно переписать так:

Т.к. то по теореме 5: .

2) Пусть x <0 (x )

(по доказанному в первом случае)

Следовательно, .

Теорема доказана.

 







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 393. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия