Корреляционные функции и когерентность излучения

Общетеоретические положения

Когерентность излучения. Понятие когерентности в оптике вводится для характеристики согласованности (корреляции) световых колебаний в различных точках пространства и в различные моменты времени. Определим степень когерентности посредством корреляционной функции светового поля.

Рассмотрим поляризованное поле, вектор напряженности электрического поля E которого колеблется в определенном направлении. Если вектор напряженности оптического поля содержит компоненту, случайным образом изменяющуюся по пространственным координатам r и по времени t, то можно построить следующую корреляционную функцию

где угловые скобки означают усреднение по всему пространству и по всему интервалу времени наблюдения. Для стационарных полей, статистические характеристики которых во времени не меняются,

Принято выделять также статистически однородные поля, для которых корреляционная функция зависит лишь от разности r₂ - r₁

Однородное случайное поле называется изотропным, если корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния между двумя точками s =|r₂ − r₁|. Для стационарных во времени и однородных в пространстве случайных полей

где τ = t₂ − t₁. Корреляционная функция B(s,τ) принимает максимальное значение при s = τ = 0.

Введем применительно к световому пучку нормированную корреляционную функцию

где I (r₁,t₁) и I (r₂,t₂) - интенсивности излучения в указанных пространственных точках и в указанные моменты времени. В случае стационарности поля светового пучка

Рис. 6.1. Корреляционная функция. Свойства

Построенную таким образом величину γ называют комплексной степенью когерентности, так как корреляционные функции в общем случае комплексны.

Абсолютную величину γ называют модулем степени когерентности или просто степенью когерентности. Степень когерентности всегда удовлетворяет неравенству

|γ| при τ = 0 дает значение степени пространственной когерентности, а при r₂= r₁ - значение степени временной когерентности. Значение s = s_k и τ = τ_k, при которых степень пространственной и временной когерентности уменьшаются в заданное число раз называются соответственно размером зоны когерентности и временем когерентности.

Распространение взаимной когерентности. Распространение световых волн, функция взаимной когерентности

Пусть u(P,t) - скалярная амплитуда одной компоненты поляризации электрического или магнитного поля, связанная с монохроматическим оптическим сигналом (излучением). В соответствии с принятым в скалярной теории подходом, рассмотрим каждую компоненту независимо. Здесь Р - пространственная координата точки, а параметр t - момент времени.

Аналитический сигнал, связанный с u(P,t), имеет вид где ν - частота волны, а U(P,ν) - амплитуда фазора.

Пусть волна падает слева на неограниченную поверхность. Необходимо найти амплитуду фазора поля в точке Ро справа от поверхности Σ через характеристики поля на поверхности Σ.

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля справедливо следующее решение

где λ = с /ν - длина волны излучения (с - скорость света); r - расстояние от точки Р₁ до точки Р₀; θ - угол между прямой линией, соединяющей Р₀ и Р₁, и нормалью к поверхности Σ; χ(θ) – коэффициент наклона, .

Как правило, рассмотрение большинства задач ведется в приближении малых углов наклона и поэтому в дальнейшем, мы будем считать этот множитель равным единице.

Принцип Гюйгенса-Френеля можно интерпретировать таким образом. Каждая точка на поверхности Σ действует как новый вторичный источник сферических волн. Напряженность поля вторичного источника в точке Р1 пропорциональна , и этот источник излучает с амплитудным коэффициентом направленности χ(θ).

Рис. 6.2. Схема распространения излучения

Функция взаимной когерентности. При распространении волны в пространстве ее структура изменяется. Изменяется соответственно и функция взаимной когерентности. Следовательно, можно говорить о распространении функции взаимной когерентности.

Причина эта объясняется тем фактом, что световые волны подчиняются волновому уравнению.

Рис. 6.3. Распространение функции взаимной когерентности

Решение, основанное на принципе Гюйгенса–Френеля. Рассмотрим распространение световой волны с произвольными свойствами когерентности.

Дана функция взаимной когерентности Γ(Ρ₁, Ρ₂;τ) на поверхности Σ₁ и надо найти функцию взаимной когерентности Г(Q₁,Q₂;τ) на поверхности Σ₂. То есть наша цель предсказать результаты интерференционного опыта Юнга на отверстиях Q₁ и Q₂ если известны результаты интерференционных опытов на всевозможных отверстиях Р₁ и Р₂.

По определению функция взаимной когерентности на поверхности Σ₂

Рис. 6.4. Процесс распространения функции взаимной когерентности

Используя выражение для распространения узкополосного сигнала

,

запишем выражение для узкополосного сигнала для нашего случая для двух точек Q₁ и Q₂ поверхности Σ₂

Подставив выражение для полей в функцию взаимной когерентности и изменяя порядок выполнения интегрирования и усреднения, получим

Среднее по времени в подынтегральном выражении может быть выражено через функцию взаимной когерентности на поверхности Σ 1, что приводит к основному закону распространения взаимной когерентности

В соответствии с условием квазимонохроматичности (Δω/ω<<1) оптическая разность хода должна быть намного меньше длины когерентности излучения.

Опираясь на это условие, найдем закон распространения излучения для взаимной интенсивности, заметив, что взаимная интенсивность

а также

Подставив это в выражение для распространения взаимной когерентности, при τ=0 получим

Это основное выражение, определяющее закон распространения взаимной интенсивности.

Распределение интенсивности на поверхности Σ 2 можно найти, устремив Q1 к Q2 (т.е. точки Q1 и Q2 должны совпасть) в последней формуле и заменив