Квантовомеханическая модель дифракции монохроматического излучения на щели

Рассмотрим схему эксперимента, аналогичную изображенной на рис. 5.2 в случае щели, но в отсутствии линзы.

С точки зрения квантовой механики, излучение удаленного точечного источника - плоская монохроматическая волна, представляет собой ансамбль фотонов, движущихся в направлении θo, импульс которых определен и равен:

При этом физическая величина, канонически сопряженная с импульсом - координата - для каждого из фотонов полностью не определена и может иметь любое значение от плюс до минус бесконечности.

Поместим на пути фотонов экран, в котором имеется щель шириной 2Δx.

Часть фотонов будет задержана экраном, а часть пройдет сквозь щель. Этот процесс фактически можно интерпретировать как измерение координат той части фотонов, что прошла сквозь щель, так как факт прохождения фотонов означает, что они имели координаты в пределах x_o±Δx, где хо - положение середины щели. Любое измерение изменяет состояние системы, следовательно, наличие информации относительно координат фотонов приводит к возникновению неопределенности их импульсов. Соотношение неопределенности в случае щели достаточно записать только для х-компоненты импульса:

, (5.4) где Δsinθ - неопределенность синуса угла отклонения движения фотона от первоначального направления θo, т.е., фактически неопределенность синуса угла дифракции. Выражение (5.4) можно переписать в виде:

(5.5)

Классическое выражение для распределения интенсивности дифракционного поля щели, как было сказано в предыдущем параграфе, описывается формулой Фраунгофера (θ_o=0):

Из (3) следует, что синусы направлений на первые минимумы равны:

(5.6)

Сравнивая выражения (5.5) и (5.6), можно сделать вывод, что диапазон квантовомеханической неопределенности угла дифракции отождествляется с нулевым дифракционным порядком, заключенным между первыми минимумами распределения интенсивности, на который приходится около 80% энергии дифрагировавшего излучения.

К данному выводу можно прийти и другим путем, воспользовавшись свойством функции состояния, согласно которому она может быть выражена через любую из двух канонически сопряженных переменных – или через координату, или через импульс, причем между двумя представлениями существует взаимно-однозначное соответствие. В рассматриваемой задаче априори известен вид функции состояния в координатном представлении:

то есть, фотоны, прошедшие через щель, распределены по ее ширине по равновероятностному закону.

Для перехода к импульсному представлению, необходимо разложить функцию в координатном представлении в спектр по собственным функциям оператора импульса, являющимися решениями уравнения

. Эти функции с учетом нормировки имеют вид:

, а собственные числа p_x образуют непрерывный спектр:

.

Таким образом, искомое разложение:

- фактически представляет собой интеграл Фурье, и, окончательно, импульсное представление функции состояния:

В данной задаче, подставляя в явном виде Ψ(x) и p_x = η_k sinθ:

- получаем для плотности вероятности распределения фотонов по углу дифракции классическую формулу Фраунгофера.

Таким образом, при большом количестве фотонов, они, в силу статистики, сформируют характерное дифракционное распределение интенсивности, выступая, согласно принципу дополнительности, подобно обычному классическому волновому процессу.

При наличии нескольких некогерентных источников испускаемые ими ансамбли фотонов считаются независимыми и могут рассматриваться отдельно, также независимыми оказываются и плотности вероятности их распределений, аналогично дифракционным распределениям интенсивности для некогерентных источников в классической оптике. Когерентное и частично- когерентное излучение в квантовой оптике должно описываться с помощью единых ансамблей, соответственно постановки задач и их анализ существенно усложняются.