Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл

Пусть функция определена на отрезке Произведем разбиение (см. Р5)

отрезка на частичные отрезки и выберем произвольно точки Вычислим значения

и составим так называемую интегральную сумму

Определение 3. Если существует конечный предел интегральных сумм:

и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют определенным интегралом от функции на отрезке Обозначение: При этом саму функцию называют интегрируемой на отрезке

(заметим, что число называется диаметром разбиения ).

Пусть теперь функция По разбиению строится ступенчатая фигура (см. Р6), состоящая из прямоугольников высоты и длиной основания, равной Площадь этой ступенчатой фигуры (достройте ее самостоятельно) равна интегральной сумме и эта площадь будет приближенно равна площади криволинейной трапеции[3] т.е. причем это равенство будет тем точнее, чем меньше диаметр разбиения и оно становится точным при

Мы пришли к следующему геометрическому смыслу определенного интеграла:

интеграл численно равен площади криволинейной трапеции с верхней границей, описываемой уравнением

Замечание 3. В определении 3 интеграла предполагается, что отрезок интегрирования ориентирован от до (т.е. ). В случае противоположной ориентации отрезка

(т.е. при ) полагаем по определению Также полагаем по определению, что

Перейдем к формулировке свойств определенного интеграла.

Ограниченность подынтегральной функции. Если функция интегрируема на отрезке то она ограничена на этом отрезке (т.е. ).

Линейность интеграла. Если функции и интегрируемы на отрезке то на этом отрезке интегрируема и любая их линейная комбинация и имеет место равенство

Аддитивность интеграла. Если функция интегрируема на максимальном из отрезков то она интегрируема и на двух других отрезках, причем имеет место равенство

Далее везде предполагаем, что

Монотонность интеграла. Если функции и интегрируемы на отрезке и то

Интегрируемость модуля. Если функции интегрируема на отрезке то на этом отрезке интегрируема и функция причем имеет место неравенство

Теорема о среднем для интеграла. Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда существует точка такая, что (геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует прямоугольник с основанием и высоты равновеликий криволинейной трапеции ) .

Доказательство. Пусть (по теореме Вейерштрасса значения и функцией достигаются). Имеем поэтому из свойства монотонности интеграла отсюда получаем

Последние неравенства показывают, что значение является промежуточным для функции на отрезке а, значит, по теореме Больцано-Коши существует такое, что

Теорема доказана.

Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций

Вычисление определенного интеграла можно свести к вычислению неопределенного. Соответствующая формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Для ее вывода необходимо изучить сначала свойства интеграла с переменным верхним пределом, к описанию которого мы переходим.