Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции величину Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как
С другой стороны, из рисунка видно,что дифференциал Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой
Выясним теперь механический смысл производной. Если
Нетрудно показать, что
|
точки 
секущая, 
касательная к кривой 
углы 
Пусть функция 
определена в точке 
и некоторой ее окрестности 
. Сместимся из точки 
в точку 
Величина 
называется приращением аргумента в точке 
а величина 
= 
называется приращением функции 
(соответствующим приращению 
аргумента).
в точке 
При этом функцию 
называют дифференцируемой в точке 
а
называют дифференциалом функции 
в точке 
и так как 
то 
т.е.
т.е. производная функции 
в точке 
поэтому
равен приращению касательной 
к графику функции 
в точку 
в точке 
(касательная), 
(нормаль).
путь пройденный материальной точкой за время от момента 
до момента 
то 
средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент 
любая дифференцируемая в точке 
функция 
непрерывна в точке 
непрерывна в точке 
но 
не существует).
