Предел функции

Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

и просто - окрестность точки совпадающую с указанным интервалом:

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (в самой точке функция можеть быть определена или нет; её значение в точке не существенно).

Определение 2. Говорят, что число P является пределом функции в точке (или при если для произвольного числа найдется число (зависящее, вообще говоря, от такое, что для всех значений , удовлетворяющих неравенству будет иметь место неравенство При этом пишут и читают: “ предел функции при равен ”.

Это определение записывают кратко так:

Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции в точке ( стремится к но так как Это означает, что предел не зависит от того, каким является значение функции в точке Например, функции

имеют один и тот же предел в точке

Геометрически высказывание (1) означает, что для любого существует число такое, что кривая при всех лежит внутри полосы Если эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала (или, что то же самое, для произвольного то число будет пределом функции при . Если же существует интервал такой, что в любой проколотой окрестности точки найдется абсцисса для которой то Геометрические соображения часто используют при доказательстве существования пределов для конкретных функций.

Теорема 1. Если существует (конечный) предел , то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при , т.е.

существуют постоянные такие, что для всех из проколотой окрестности точки имеет место неравенство

Замечание 1. Если функция удовлетворяет условию, записанному в рамке,то ее называют функцией класса и пишут Функции класса обладают следующими очевидными свойствами.

Теорема 2. Если и то