Замена переменной в неопределенном интеграле
Перейдем к формулировке теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле, которая часто используется при вычислении интегралов. Здесь имеются в виду два утверждения[1]:
где Теорема 2. а) Пусть выполнены условия: 1) функция
б) Пусть выполнены условия: 1) функция 2) функция 3) Замечание 1. Преобразования в = 3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле При вычислении интегралов часто используется операция интегрирования по частям, законность которой регламентируется следующим утверждением. Теорема 3. Пусть функции Доказательство вытекает из цепочки тождеств Замечание 2. Операция интегрирования по частям применяется к интегралам вида
При этом в интегралах типа 1 для получения дифференциала
При интегрировании алгебраических дробей будет использоваться операция выделения полного квадрата. Продемонстрируем ее на примере интеграла
При интегрировании алгебраических дробей будет использоваться операция выделения полного квадрата. Продемонстрируем ее на примере интеграла
|
функция, обратная к функции 
непрерывна в своей области определения 
б) функция 
непрерывно дифференцируема на множестве 
таком, что
Тогда для всех 
имеет место равенство 
непрерывна в своей области определения 
непрерывно дифференцируема [2] на множестве 
таком, что 
4) функция 
Тогда для всех 
имеет место равенство 
часто называют процедурой введения множителя под знак дифференциала. Формулу 
удобно применять в тех случаях, когда функция 
легче интегрируется, чем исходная функция 
Например, 
Далее надо вернуться к старой переменной с помощью обратной функции 
и получить ответ: 
непрерывно дифференцируемы на множестве 
Тогда на этом множестве справедливо равенство 
(
многочлен степени 
).
надо ввести под знак дифференциала трансцендентную функцию 
а в интегралах типа 2 под знак дифференциала надо ввести многочлен 
Например, 
4.Выделение полного квадрата
