Лабораторна робота № 2. Мета: Вивчити основи теорії руху ШСЗ та навчитися визначати параметри незбуреного руху ШСЗ.

Тема: Визначення основних параметрів незбуреного руху ШСЗ

Мета: Вивчити основи теорії руху ШСЗ та навчитися визначати параметри незбуреного руху ШСЗ.

Теоретичний матеріал

При використанні динамічного методу в супутниковій геодезії для визначення координат спостережуваної точки необхідно знати параметри руху ШСЗ та їх ефемериди. Рух супутника навколо Землі у спрощеному вигляді розглядають як незбурений, тобто такий, коли на супутник діє лише гравітаційне поле Землі (Земля і супутник розглядаються як матеріальні точки) і не діють інші сили, що називаються збурюючими.

Збурюючі сили мають незначний вплив на рух ШСЗ, тому першочергово визначення параметрів руху ШСЗ зводиться до розв’язання незбуреного руху. Такий рух ґрунтується на законах Ньютона і Кеплера і його ще називають кеплеровим. Теорія незбуреного руху складається з таких частин: виведення диференціального рівняння руху, пошук методів його розв’язання, аналізу розв’язків і отримання системи рівнянь для обчислень елементів орбіти.

Для обчислення параметрів орбіти ми будемо використовувати полярну систему координат. В ній радіус r орбіти знаходиться за формулою:

 

c 2 /

r

1 f cos

 

, (14.1)

 

де с – інтеграл площ; μ – гравітаційна стала Землі (гравіметричний параметр Землі); f – універсальна гравітаційна стала; ν – кут повороту радіус-вектора супутника.

Якщо ввести позначення

с p,

f у, (14.2)

 

то отримаємо рівняння кривої другого порядку у полярних координатах:

r p

1 е cos

, (14.3)

де р - фокальний параметр кривої, е - ексцентриситет. Фокальний параметр орбіти виражають через велику піввісь орбіти:

p a 1

e 2. (14.4)

Залежно від ексцентриситету е плоска крива другого порядку може набирати різні форми, тому значення параметрів с, ƒ і h також змінюються. Дослідимо, яких

2 2

значень набуває вираз

r h при різних

ексцентриситетах е. При цьому, використовуючи рівняння зв’язку перших семи параметрів, отримаємо:

e 2 1 h c

2. (14.5)

 

В еліптичному русі 0

е 1. Тоді на основі h, із

інтеграла енергії визначаємо квадрат швидкості ШСЗ:

2 2. (14.6)

r

Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за

 

 

його потенціальну енергію. Якщо е =0, маємо

h. (14.7)

p

r=a.   (14.8) Враховуючи (14.8) і підставляючи в інтеграл енергії,

Під час колового руху радіус орбіти дорівнює великій півосі:

 

 

отримаємо

 

v. (14.9)

r

При цьому приймемо, що Земля має сферичну форму з

3

радіусом r0 =6371,1 км і μ;=398600,5 км.

с

Висота супутника знаходиться за формулою

H r r 0. (14.10)

Нехай супутник має період обертання Т. Тоді при повному оберті ШСЗ отримаємо 360 = wT, звідки

w 360 2

T T

. (14.11)

Величина w – середня кутова швидкість рухомої точки. У небесній механіці її називають середнім рухом.

Використовуючи формули (14.11), (14.8), (14.9) після відповідних перетворень отримаємо:

Т 3 4 3

а 3

 

const. (14.12)

Цей вираз відображає третій закон Кеплера, згідно з яким в еліптичному незбуреному русі квадрати періоду обертання Т супутника по орбіті відносяться як куби її великих півосей.

Має місце також співвідношення:

T

T з о р

n, (14.13)

де n – кількість обертів супутника навколо Землі за добу.

 

Для геостаціонарного супутника n=1, при цьому

T зор =23h56m04.5s– зоряна доба.

Рух ШСЗ за законами Кеплера є найпростішою моделлю орбітального руху супутника і називається незбуреним. При цьому вважається, що Земля і супутник – дві матеріальні точки. При такому припущенні супутник рухається за інерцією під дією наданого йому початкового імпульсу в гравітаційному полі Землі.

Завдання на самостійне опрацювання перед виконанням лабораторної роботи

1. Вивчити визначення незбуреного руху ШСЗ, закони Кеплера, збурюючі фактори, диференціальні рівняння незбуреного руху ШСЗ, елементарний вивід рівняння руху супутника;

2. Засвоїти основний порядок та можливості роботи в програмному продукті «Excel».

Завдання 1. Визначити радіус орбіти (r) і швидкість обертання (V),якщо відома висота ШСЗ (Н) згідно варіанту в програмному продукті «Excel». Використовуються формули (14.9), (14.10). H=6000км+N · 64км.

Завдання 2. Визначити радіус орбіти (r), швидкість обертання (V) і висоту ШСЗ (Н), якщо відомо кількість обертів ШСЗ за добу навколо Землі (n) згідно варіанту в програмному продукті «Excel». Використовуються формули (14.8), (14.9), (14.10), (14.12), (14.13). n (кількість обертів за добу )=4,93+0,04 · N.

Завдання 3. Визначити радіус орбіти (r), швидкість обертання (V) і висоту ШСЗ (Н) для геостаціонарного супутника (n=1) згідно варіанту в програмному продукті

«Excel». Використовуються формули (14.8), (14.9), (14.10),

(14.12), (14.13).

При цьому N – порядковий номер студента в групі.