Интегрирование рациональной дробиЗадача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов: Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x2+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p2/4>0.
#16. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны. Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. №17 — Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а. — F1(c,0), F2(-c,0) – фокусы эллипса. A1(a,0),A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) – вершины эллипса №18 — — Фокусы гиперболы обозначим через F1 и F2, а расстояние между ними - через 2с
№19 — Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус). — y2=2px - каноническое уравнение параболы
№ 20. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A1x+B1y+C1z+D1= 0 и A2x+B2y+C2z+D2 =0, где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны:
A1x+B1y+C1z+D1 =0 (8.10) A2x+B2y+C2z+D2 =0. Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики. Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору a ={l,m,n}. Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = { x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства: называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М1(х1, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М 2 = { x2 – x1, y2 - y1, z2 - z1 }, и уравнения (8.11) принимают вид: - уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0,z0) перпендикулярно вектору n = { A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = { x - x0,y - y0, z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =0 (8.1) Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде: Ax+By+Cz+D =0, (8.2) где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.
21. Система линейных уравнений Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:
где aij, bi (i =1.. m; j =1.. n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x 1= k 1, x 2= k 2, … x n= k n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
или, в сокращенной записи А=(аij) i=1.. m; j=1.. n Две матрицы А и В одного размера mхn называются равнымиесли они совпадают поэлементно, т.е. аij =bij для всех i=1.. m; j=1.. n. Классификация матриц — Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом. — Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n. — Элементы матрицы аij, у которых i = j называются диагональными элементами и образуют главную диагональ. — Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной. — Единичной, называется диагональная матрица, элементы которой равны единице. — Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,равны, т.е. — Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю — №23операции над матрицами — Умножение матрицы на число. — Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой bij =λ аij для всех i=1… m; j=1… n. — Сложение матриц. — Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой сij =аij+ bij для всех i=1… m; j=1…n. — Вычитание матриц. — Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (−1)∙В. — Умножение матриц. — Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. — Целой положительной степенью Аm квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т.е. Аm = А ∙А∙ …∙А — Транспонирование матрицы. — Транспонированием матрицы называется переход от матрицы А к Ат (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Ат – называется транспонированной относительно матрицы А. — №24 — Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы. — Определителем матрицы первого порядка А=(а11) или определителем первого порядка называется элемент а11. Обозначается Δ1 = а11 или│А│= а11. — Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ2 = │А│= а11а22 – а12а21. — или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ3 = │А│= а11а22 а33+а12а23а31+а21а32а13– а31а22а13 – а12а21а33 – а32а23а11. Свойства определителей — 1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю. — 2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ. — 3. При транспонировании матрицы её определитель не изменится. — 4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный. — 5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю. — 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю. — 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число. — 8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю. 9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: │АВ│=│А││В│. №25 — Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1∙А = А ∙А-1 = Е. — Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0) – вырожденной, или особенной.
|
При этом справедлива следующая теорема: Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная равная
(8.11)
- (8.12)
.
№22
Определителем матрицы третьего порядка
