РАНГ МАТРИЦЫ

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

 

Возьмем матрицу А порядка . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n, то есть, .

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка , составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p – k) строк и (n – k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А.

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу .

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А, то нашему выбору соответствует минор первого порядка . Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А, а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А, то мы получим минор .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка

и .

 

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка

и .

 

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка

Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А.

Другим минором третьего порядка является

получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А.

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка

и .

 

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как .

 

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как , где и - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

 

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n?

Нам потребуется множество номеров строк матрицы и множество номеров столбцов . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k.

Разберем на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы .