Свойства пределов.бесконечно больш и малые.Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними

Пусть f ₁ (x) и f ₂ (x) бесконечно малые величины при ,
т.е. и .

1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.17)

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.18)

3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая:

. (4.19)

Пусть и бесконечно большие величины при ,
т.е. и .

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.21)

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:

41.замечательные пределы. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны: Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: Первый замечательный предел

Доказательство Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, то: (1)(где — площадь сектора

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при : Умножаем на : Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.