Задача с равенствами. Другое доказательство принципа ЛагранжаПусть дана задача: Пусть 1. А это означает, что в нашем случае справедливо классическое правило множителей Лагранжа. Единственность вектора 2. 3.
Это будет означать, что Принцип Лагранжа доказан, так как других случаев для
|
(1)
− локально оптимальный план этой задачи. Возможны следующие случаи:
. В этом случае справедливо необходимое условие первого порядка. Применяя тогда к формулам (12), (17) теорему Фаркаша о неравенстве вследствие равенств, приходим к выводу, что найдутся такие числа 
, что 
. Перенося в этом равенстве все слагаемые влево и полагая 
, получим условие стационарности: 
.
следует из обыкновенности плана.
, тогда вектора (7) образуют базис в 
и любой вектор можно разложить по этому базису. Разложим вектор 
. А это равенство снова приводит к условию стационарности, то есть и для второго случая справедливо классическое правило множителей Лагранжа.
, не все равные нулю, что существует 
. Положим 
, и добавим нулевое слагаемое в последней сумме.
.
и существует 
. То есть в третьем случае справедливо обобщённое классическое правило множителей Лагранжа.
