ОСНОВЫ ПСИХОЛОГИИ РАЗВИТИЯ
Векторные поля - отображения одного векторного пространства в другое. Скалярные поля - функции на векторном пространстве.
Диссипативная функция (функция рассеяния) — функция, вводимая для учёта перехода энергии упорядоченного движения в энергию неупорядоченного движения, в конечном счёте — в тепловую (такой переход, например, имеет место при воздействии на механическую систему сил вязкого трения). Диссипативная функция характеризует скорость убывания (рассеяния) механической энергии системы и имеет размерность мощности. Диссипативная функция, делённая на абсолютную температуру, определяет скорость, с которой возрастает энтропия (мера неопределённости какого-либо опыта (испытания)) в системе. Уравнения Навье-Стокса - система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости, состоящая из уравнения движения (векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды.) и уравнения неразрывности (оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объёме, то есть непрерывность потока жидкости или газа). Часто уравнениями Навье-Стокса называют только одно векторное уравнение движения. В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом: , (3.1)
где - оператор набла (оператор Гамильтона), - векторный оператор Лапласа, - время, - коэффициент кинематической вязкости, - плотность, - давление, - векторное поле скоростей, - векторное поля массовых сил (т.е. сил, действующих на каждый элементарный объём вещества и пропорциональных массе вещества, заключённого в этом объёме - силы тяготения, силы инерции и т.д.). Оператор набла (оператор Гамильтона) - векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат оператор набла определяется следующим образом:
, (3.2)
где - единичные векторы (орты) по осям соответственно. Если вектор скалярно умножить на скаляр , то получится вектор:
, (3.3)
который представляет собой градиент функции . Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр:
, (3.4) то есть дивергенция вектора . Если вектор векторно умножить на вектор , то получится ротор вектора : (3.5)
Векторный оператор Лапласа (или векторный лапласиан) — это векторный дифференциальный оператор, определённый над векторным полем, аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах, получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного Лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора. Векторный оператор Лапласа некоторого векторного поля определяется следующим образом: 1) Через оператор набла: ; 2) Через градиент, дивергенцию и ротор: . Градиент (растущее поле) – определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля (скаляр-вектор). Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона. С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве (рис. 3.1). Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным. Использовав единичные вектора по осям прямоугольных декартовых координат , получаем следующее . (3.6)
Дивергенция (расхождение) – линейный дифференциальный оператор, характеризующий расходимость, источники и стоки векторного поля (вектор-скаляр). Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением С точки зрения физической интерпретации (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (точнее достаточно малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля (рис. 3.2): - точка поля является источником; - точка поля является стоком; - стоков или источников нет либо они компенсируют друг друга. Согласно геометрической интерпретации, если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся). Ротор (вихрь) - векторный дифференциальный оператор, характеризует вихревую составляющую векторного поля (вектор-вектор). Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля: . (3.7)
Лапласиан – сочетание дивергенции и градиента (скаляр-скаляр):
. (3.8)
Ротор и дивергенция - для векторных полей. Градиент, лапласиан - для скалярных полей.
Тензор - объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Тензор обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов: . При смене базиса (системы координат) ковариантные компоненты меняются так же, как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные - обратно изменению базиса (обратным преобразованием). В качестве примера тензор механического напряжения второго ранга, компоненты которого в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу представлен в следующем виде: столбцами которой являются силы, действующие на грани исследуемого куба.
- Тензор ранга (0,0) есть скаляр - величина, каждое значение которой может быть выражено одним числом; - Тензор ранга (1,0) есть вектор (контравариантный вектор) - это элемент пространства , которое изоморфно (наличие биекции – взаимно-однозначного отображения (соответствия)) пространству ; - Тензор ранга (0,1) есть ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства, которое изоморфно проекции (отображение точек пространства на его подпространство любой размерности) ; Касательное расслоение
В линейной алгебре, ковариантный вектор на векторном пространстве - это то же самое, что и линейный функционал на этом пространстве В дифференциальной геометрии, ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии это гладкое сечение кокасательного расслоения - Тензор ранга (0,2) есть билинейная форма, например, метрический тензор (это симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.), например , , и т.д. - Тензор ранга (1,1) есть линейный оператор или . Линейный оператор - обобщение линейной числовой функции .
ОСНОВЫ ПСИХОЛОГИИ РАЗВИТИЯ Учебно- методическое пособие для студентов дневного и заочного отделений педагогического факультета направления 050400 «Психолого-педагогическое образование»
Тверь 2013 Составитель кандидат психологических наук, доцент О.О. Гонина
Обсуждено на заседании кафедры дошкольной педагогики и психологии ТвГУ(протокол № 15 от 18. 05. 2011 г.) и рекомендовано к использованию в образовательном процессе.
|