Метод Ньютона (метод касательных). Пусть корень x уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b], причем f'(x) и f''(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при a<=x<=b. Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня xn, то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим
(1)
где hn считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:
Следовательно,
Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня
(2)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что f''(x)>0 при a<=x<=b и f(b)>0.
Выберем, например, x0=b, для которого f(x0)f''(x0)>0. Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке B0 с координатами [x0,f(x0)].
В качестве первого приближения x1 корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку B1[x1,f(x1)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение x2 корня x и т.д.
Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника x0x1B0, образованного касательной, проведенной в точке B0, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки x0=b.
Имеем
Так как угол a образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.
Тогда
или для любого шага n
В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие
т.е. функция и ее вторая производная в точке x0 должны быть одного знака.
В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия
Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента
В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:
При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений xn+1 для корня x. Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление f(x) можно оформить в виде функций.
Пример. Рассмотрим применение метода Ньютона для решения уравнения из предыдущего примера
