Студопедия — Вопрос численное решение алгебраических уравнений. метод ньютона
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос численное решение алгебраических уравнений. метод ньютона






Метод Ньютона (метод касательных). Пусть корень x уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b], причем f'(x) и f''(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при a<=x<=b. Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня xn, то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим

(1)


где hn считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:


Следовательно,


Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня

(2)


Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что f''(x)>0 при a<=x<=b и f(b)>0.


Выберем, например, x0=b, для которого f(x0)f''(x0)>0. Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке B0 с координатами [x0,f(x0)].
В качестве первого приближения x1 корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку B1[x1,f(x1)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение x2 корня x и т.д.
Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника x0x1B0, образованного касательной, проведенной в точке B0, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки x0=b.
Имеем


Так как угол a образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.


Тогда


или для любого шага n


В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие


т.е. функция и ее вторая производная в точке x0 должны быть одного знака.

В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия


Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента


В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:


При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений xn+1 для корня x. Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление f(x) можно оформить в виде функций.

Пример. Рассмотрим применение метода Ньютона для решения уравнения из предыдущего примера








Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 230. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Вопрос. Отличие деятельности человека от поведения животных главные отличия деятельности человека от активности животных сводятся к следующему: 1...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия