Системы нелинейных уравнений

При решении задач моделирования поведения химических систем достаточно часто приходится решать системы уравнений, нелинейных по отношению к переменным. Системы n линейных уравнений с n неизвестными x ₁, x ₂ ,..., x_n в общем случае принято записывать следующим образом:

где F ₁, F ₂ ,…, F_n – любые функции независимых переменных, в том числе и нелинейные относительно неизвестных.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор (или векторы) (X^*), который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

Система уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение, конечное или бесконечное количество решений. Вопрос о количестве решений должен решаться для каждой конкретной задачи отдельно.

Рассмотрим несколько простейших итерационных методов решения систем нелинейных уравнений, а именно, метод простой итерации, метод Зейделя и метод Ньютона.

Метод простой итерации

Для реализации этого метода решаемую систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований привести к следующему виду, выразив из каждого уравнения по одной переменной следующим образом:

Выбирая затем вектор начального приближения

,

подставляют его в преобразованную систему уравнений. Из первого уравнения получают новое приближение к первой переменной, из второго – второй и т. д. Полученное уточненное значение переменных снова подставляют в эти уравнения и т.д.Таким образом, на (i+1)-м шаге итерационной процедуры имеем