Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов (мнк).

На графиках все прекрасно видно. Красная линия – это найденная прямая y = 0.165x+2.184, синяя линия – это , розовые точки – это исходные данные.

Для чего это нужно, к чему все эти аппроксимации?

Я лично использую для решения задач сглаживания данных, задач интерполяции и экстраполяции (в исходном примере могли бы попросить найти занчение наблюдаемой величины y при x=3 или при x=6 по методу МНК). Но подробнее поговорим об этом позже в другом разделе сайта.

Вопрос

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена.
1. Кусочно-линейная интерполяция

Простейшим, часто используемым видом локальной интерполяции, является кусочно-линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки () соединяются прямолинейными отрезками, а функция приближается к ломаной с вершинами в данных точках.

Для каждого из интервалов , () в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки , :
(1)
Следовательно, при использовании кусочно-линейной интерполяции сначала необходимо определить интервал, в который попадает значение аргумента , затем подставить значение в формулу (1) для найденного интервала и найти приближенное значение функции . Можно показать, что интерполирование по формуле (1) тождественно интерполированию с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа первой степени () для точек , :
(2)

Формулы (1) и (2) эквивалентны.
2. Кусочно-квадратичная интерполяция

В случае кусочно-квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке () принимается квадратичный трехчлен:

, (3)

где .

Для определения неизвестных коэффициентов необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы через три точки , , . Эти условия можно записать в виде:

(4)
Интерполяция для любой точки проводится по трем ближайшим точкам. Решив систему (4) относительно , и подставив найденные значения в уравнение (3), получим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени () для трех соседних точек , , :