Метод простых итераций

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В таких случаях более эффективным способом численного решения уравнений является метод итерации.

Пусть дано уравнение (1)

.

Заменим его равносильным уравнением

. (9)

Здесь

; .

Вычислительная формула метода простых итераций:

. (10)

Если последовательность имеет предел , то этот предел является решением системы (10).

Теорема. Если , то система уравнений (9) имеет единственное решение и итерационный процесс (10) сходится к решению независимо от начального приближения. Критерий окончания итерационного процесса: .   Здесь  - заданная точность вычислений. В качестве решения берется величина Xn.

Первый способ приведения AX = B к виду (9)

Предполагая, что разрешим первое уравнение системы (1) относительно , второе – относительно ,, n ‑-ое уравнение – относительно . В результате получим

, (11)

где ; при . Система (9) в матричной форме имеет вид (9).

 

При таком способе получения уравнения (9) справедливо следствие из теоремы 1, определяющее условие сходимости итерационного процесса.

Следствие. Для системы метод итераций сходится, если выполнены неравенства , . (12)

Выражение (12) означает, что в матрице A в каждой строке диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов строки. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать СЛАУ. Это можно сделать, выполнив эквивалентные преобразования системы:

 перестановка строк;

 линейная комбинация строк.

Пример. Дана система уравнений.

.

Привести ее к виду, пригодному для решения методом простых итераций первым способом.

Условие (12) не выполняется ни в одной из строк. Поместим строку (c) на первое место:

.

Теперь для первой и третьей строки условие (12) выполняется. В качестве третьей строки возьмем линейную комбинацию (c) – (a):

.

Данную систему уже можно приводить к виду (9):

.

Т.о.

, .

В качестве нулевого приближения примем .

Второй способ приведения AX = B к виду (9)

В предыдущем способе обязательным условием являлось выполнение неравенства (12). Во многих случаях это далеко не просто. Во втором способе любую невырожденную систему уравнений AX = B всегда можно заменить эквивалентной системой так, что условие сходимости будет выполняться.

Для этого умножим уравнение AX = B на матрицу D = А ^–1 – , где  – матрица с малыми по модулю элементами. Последовательно получим:

;

;

.

Обозначим

; .

В результате получим систему вида

.

Очевидно, что если элементы матрицы  выбрать достаточно малыми по модулю, то можно обеспечить выполнение условия

.

Т.е. для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия

или .