Типовые задачи для подготовки к зачетной работе (итоговой по курсу).

1. Найдите соотношения цен трех товаров, если стоимости наборов , этих товаров относятся как 9:7:5.

2. Найдите наибольшее значение функции ∆(x) на отрезке [-4, 4]:

3. Решите систему уравнений:

4. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А. Найти косинус угла между линейно независимыми собственными векторами матрицы.

5. Найдите значение параметра a, при котором бесконечно малые функции (1-cosx) и a sin²x будут эквивалентными при 𝑥 →0.

 

6. Дана функция .

а) Найдите все асимптоты графика функции.

б)Найдите точки экстремума и перегиба, промежутки монотонности и выпуклости вверх/вниз.

в) Нарисуйте эскиз графика функции: .

г) Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку (1;3).

д) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми y=0, x=1, x=2.

7. Найти матрицу из уравнения .

8. Доказать, что данные векторы линейно независимы: .

9. Найти матрицу линейного отображения , если А – вращение по часовой стрелке на 180˚ относительно начала координат.

10. Вычислите пределы:

а) ; б) .

11. Найдите интегралы: а) ; б) .

12. Дана функция: z =x²-2xy +4y³.

а) Вычислите dz |_M при dx=∆x=-0.1, dy=∆y=0.1, M=(1,1).

Найдите с помощью первого дифференциала приближенно z(0.9; 1.1).

б) Найдите все стационарные точкифункции z. Проверьте выполнение достаточных условий в одной стационарной точке.

13. Используя метод Лагранжа,найти точки локального экстремума функции z=5-2x +3 y при условии x ² +4y ² =100. Проверьте выполнение достаточных условий в одной стационарной точке.

Постройте график условия.

 

14. На основе опытных данных установлены зависимости спроса q (количество покупаемого товара) и предложения s (количество предлагаемого на продажу товара) от цены товара p:

Определите эластичность спроса по равновесной цене, изменение спроса при увеличении цены на 5% от равновесной.

15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z=1- x²-y² в круге (x-1)² +(y-1)²≤1. Постройте линии уровня функции z, проходящиечерез точки, в которых z принимает наибольшее и наименьшее значения в круге.