Задача 1. Имеются следующие данные о распределении рабочих предприятия по квалификации (тарифному разряду): Группа рабочих предприятия по тарифному разряду

Имеются следующие данные о распределении рабочих предприятия по квалификации (тарифному разряду):

Группа рабочих предприятия по тарифному разряду	Число работников, чел.
Всего	В том числе
цех 1	цех 2
Итого

На основании имеющихся данных определите по цехам предприятия и по предприятию в целом:

1) средний тарифный разряд рабочих;

2) модальные и медианные значения тарифного разряда рабочих. Поясните экономическое содержание этих показателей;

3) абсолютные показатели вариации тарифного разряда рабочих;

4) относительные показатели вариации тарифного разряда рабочих. Сравните вариацию тарифного разряда рабочих по цехам предприятия и по предприятию в целом.

Решение.

Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу.

 

Таблица 11.1. -Промежуточные вычисления для расчета показателей вариации.

Группа рабочих предприятия по тарифному разряду Xi	f1i	Накопленные частоты	Xif1i	X2if1i	f2i	Накопленные частоты	Xif2i	X2if2i
Итого

 

Группа рабочих предприятия по тарифному разряду Xi	fi	Накопленные частоты	Xifi	X2ifi
Итого

 

Группа рабочих предприятия по тарифному разряду Xi	f1i			f2i
		3,40	10,20		3,31	19,86
		2,40	16,80		2,31	39,27
		1,40	21,00		1,31	43,23
		0,40	11,20		0,31	17,36
		0,60	15,60		0,69	33,81
		1,60	20,80		1,69	38,87
		2,60	15,60		2,69	32,28
		3,60	7,20		3,69	14,76
Итого		-	118,40		-	239,44

 

Группа рабочих предприятия по тарифному разряду Xi	fi
		3,34	30,06
		2,34	56,16
		1,34	64,32
		0,34	28,56
		0,66	49,50
		1,66	59,76
		2,66	47,88
		3,66	21,96
Итого		-	358,20

 

1. Средний тарифный разряд работников по каждому цеху и по всему предприятию определим по формуле средней арифметической взвешенной.

По первому цеху:

4,4 разряд.

По второму цеху:

862/200 = 4,31 разряд.

По всему предприятию в целом:

1302/300 = 4,34 разряд.

Найдем моду М_о, исходя из того, что модальному значению соответствует разряд имеющий наибольшую частоту.

Для первого цеха:

Мо(1) = 4 разряд.

Наибольшее число работников 1-го цеха имеют 4-ый разряд.

Для второго цеха:

Мо(2) = 4 разряд.

Наибольшее число работников 2-го цеха имеют 4-ый разряд.

По всему предприятию в целом:

Мо= 4 разряд.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

N_Me = (n + 1)/2, где n – объем совокупности.

Медиана – это варианта, располагающаяся в середине ранжированного ряда распределения.

Для первого цеха:

N_Me(1) = (100 + 1)/2 = 50,5

Точная середина располагается между 50-м и 51-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме(1) = 4 разряд. Половина работников 1-го цеха имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4.

Для второго цеха:

N_Me(1) = (200 + 1)/2 = 100,5

Точная середина располагается между 100-м и 101-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме(2) = 4 разряд. Половина работников 2-го цеха имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4.

По всему предприятию в целом:

N_Me(1) = (300 + 1)/2 = 150,5

Точная середина располагается между 150-м и 151-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме = 4 разряд. Половина работников предприятия имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4. К абсолютным показателям вариации относятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Найдем дисперсию по следующей формуле:

.

Среднее квадратическое отклонение находим формуле:

.

Размах вариации:

R = X_max – X_min = 8 – 7 = 7 разряд.

Среднее линейное отклонение:

Для первого цеха:

= 2154/100 = 21,54 разряд²

21,54 – 4,4² = 2,18 разряд²

s₁ = 1,476 разряд.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,476 тарифных единиц.

Среднее линейное отклонение:

d₁= 118,4/100 = 1,184 разряда.

Для первого цеха:

= 4162/200 = 20,82 разряд

20,82 – 4,31² = 2,244 разряд

s₂ = 1,498 разряд.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,498 тарифных единиц.

Среднее линейное отклонение:

d₂= 239,44/200 = 1,2 разряда.

Для всего предприятия:

= 6318/300 = 21,06 разряд

21,06 – 4,34² = 2,224 разряд

s = 1,491 разряд.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,491 тарифного разряда.

Среднее линейное отклонение:

d= 358,2/300 = 1,19 разряда.

2. К относительным показателям вариации относится коэффициент вариации.

Коэффициент вариации определим по формуле:

.

Коэффициент осцилляции:

Линейный коэффициент вариации:

Для 1-го цеха:

V₁ = 1,476/4,4 = 0,336 или 33,6%.

V_R1 = 7/4,4 = 1,591 или 159,1 %.

V_d1 = 1,18/4,4 = 0,269 или 26,9%.

Для 2-го цеха:

V₂ = 1,498/4,31 = 0,348 или 34,8%.

V_R2 = 7/4,31 = 1,624 или 162,4 %.

V_d2 = 1,2/4,31 = 0,278 или 27,8%.

Для всего предприятия:

V = 1,491/4,34 = 0,344 или 34,4%.

V_R = 7/4,34 = 1,613 или 161,3 %.

V_d = 1,19/4,34 = 0,275 или 27,5%.

Когда относительные показатели вариации не превышают 35%, то принято считать, что полученные средние характеристики достаточно надежно характеризуют совокупность по варьирующему признаку. В нашем же случае, коэффициент вариации не больше 35%, как для цехов в отдельности, так и для всего предприятия в целом. Следовательно, полученная средняя величина тарифного разряда ненадежно характеризует данную совокупность по этому признаку. По относительным показателям вариации между показателями каждого из цехов и всех цехов вместе практически нет различий. Т. е. показатели вариации по тарифному разряду в каждом цехе практически одинаковые.