Задача 7. Распределение малых предприятий региона по стоимо­сти основных производственных фондов (ОПФ) за год составило

Распределение малых предприятий региона по стоимо­сти основных производственных фондов (ОПФ) за год составило, млрд р. (см.таблицу ниже).

 

Группы предприятии по стоимости ОПФ	Число предприятий, ƒ	Середина интервала, х	х – а ------ k	х – а ------ƒ k	Накопленная частота
14 – 16			-2	-6
16 – 18			-1	-9
18 – 20
20 – 22
22 и более
Итого		-	-		-

 

В таблице: а - вариант, соответствующий наибольшей частоте. При ƒ=10, а =19; k = 20 – 18 = 2.

Вычисляем момент первого порядка:

х – а

∑------ƒ

k 17

m ₁ = ------------- = ---- = 0,34;

∑ƒ 50

_

х = km 1 + a = 2 * 0,34 + 19 = 19,68 млрд р.

Мода и медиана при расчете не связаны с какой-то общей характеристикой, а представляют собой конкретный вариант в соответствии с их сущностью. Мода - значение признака (варианта), который чаще всего встречается в совокупности. Медиана - значение признака в середине ря­да. Расчет моды и медианы зависит от вида ряда - дискретного или интер­вального. По дискретному ряду их находят без формул, по определению, визуально. Мода - по наибольшей частоте, медиана соответствует вариан­ту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером

n + 1

N_Me =-------, где n - число единиц в совокупности.

По накопленным частотам определяют ее численное значение в дискретном вариационном ряду; по интервальному - по следующим формулам:

а) мода:

ƒ₁ – ƒ₂

M₀ = x₀ + k -------------------------,

(ƒ₂ – ƒ₁) + (ƒ₂ – ƒ₃)

где ƒ₂ - наибольшая (модальная) частота интервала; ƒ₁ – частота интервала, стоящая перед, модальным; ƒ₃ - частота интервала, последующего за модальным; х₀ - канальное значение модального интервала; k - размер модального интервала. (Модальный интервал находится по наибольшей частоте);

б) медиана:

n + 1

------ - S_{m – 1}

Me = x₀ + k -------------------,

f_m

где f_m - частота медианного интервала; п - сумма всех частот ряда; S_{m - 1} - сумма накопленных частот до интервала, содержащего медиану; х₀ - на­чальное значение медианного интервала; k — размер медианного интервала.

n +1

Место медианы определяется по формуле N_{me =} ------.

По данным предыдущего примера найдем моду и медиану.

 

 

ƒ₁ – ƒ₂ 16 – 9

M₀ = x₀ + k -------------------------= 18 + 2 ------------------------ = 18 + 2*0,64 =

(ƒ₂ – ƒ₁) + (ƒ₂ – ƒ₃) (16 – 9) + (16 – 12)

 

= 18 + 1,28 = 19,28 млрд р.

Модальным значением стоимости ОПФ малых предприятий региона является стоимость, равная 19,28 млрд р.

Для дискретного ряда М₀ = 19 млрд р. (по наибольшей частоте ƒ = 16).

n + 1 50 + 1

Место медианы N_me = ------ = -------- = 25,5;

2 2

следовательно, медиана для дискретного ряда равна 19 млрд р.

Медианным является интервал 18 – 20 млрд р., так как в этом интервале находятся номера 25 и 26.

Найдем медианный интервал, для чего произведем накопление частот; (3 + 9 + 16) = 28, что превышает половину суммы всех частот (50: 2 = 25). Начальное значение медианного интервала - 18, его частота - 16, сумма накопленных частот до него - 12.

n + 1

------ - S_{m – 1}

2 25,5 – 12

Me = x₀ + k ------------------ = 18 + 2 -------------- = 18 + 2 * 0,84375 =

f_Me 16

 

= 18 + 1,6875 = 19,6875 млрд р.

Это означает, что из 50 малых предприятий региона 25 имеют стоимость ОПФ менее 19,6875 млрд р., а 25 предприятий - более.

Квартиль - значение признака, делящее ранжированную совокуп­ность на 4 равные по численности части. Различают нижний квартиль Q₁, отделяющий ¼часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний Q₃, отделяющий ¾ части совокупности с наибольшими значениями признака. Это значит, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁;25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% единиц будут заключены между О₂ и Q₃ и 25% превосходят Q₃. Второй квартиль является медианой (средний квартиль).

Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы. Сначала определяют положение или место квартиля:

n + 1 n + 1 n + 1 n + 1

N_Q1 = -------; N_Q2 = ------- * 2 = -------; N_Q3 = ------- * 3.

4 4 2 4

Затем по накопленным частотам в дискретном ряду определяют численное значение. В интер­вальном ряду распределения в начале указывают интервал, в котором на­ходится квартиль, затем определяют его численное значение по формуле:

N_Q – S_{Q – 1}

Q = X_Q + k -------------,

f_Q

где X_Q - нижняя граница интервала, в котором находится квартиль;

S_{Q – 1} накопленная частота интервала, предшествующая тому, в кото­ром находится квартиль;

f_Q - частота интервала, в котором находится квартиль.

Продолжим решение задачи 5 распределения малых предприятий по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) за год. В таблице представлено распределение предприятий по стоимости ОПФ и необходимо определить квартили.

Группы предприятий по стоимости ОПФ	Число пред-приятий, ƒ	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу	Середина интервала, х	Удельный вес предприятий,
14 - 16
16 - 18
18 - 20
20 - 22
22 и более
Итого:		-	-	-

 

Производим накопление частот в % к итогу числа предприятий (табл. 4.3). Определяем положение или место, в котором находится квартиль по накопленным частотам:

n + 1 50 + 1 n + 1 50 + 1

N_Q1 = ------- = -------- = 12,75; N_Q3 = ------- * 3 = -------- * 3 = 38,25.

4 4 4 4

Интервал, в котором находится квартиль: нижний – 18 – 20 с накоплен­ной частотой 56 %; верхний – 20 – 22 с накопленной частотой 80%.

Нижний квартиль вычисляется по формуле:

N_Q – S_{Q1 – 1} 12,75 - 12

Q₁ = X_Q1 + k -------------- = 18 + -------------- = 18 + 0,047 = 18,047 ≈ 18 млрд р.

f_Q1 16

n + 1

------- * 3 – S_{Q3 – 1}

4 38,75 - 28

Верхний квартиль: Q₃ = X_Q3 + k ----------------------- = 20 + -------------- =

f_Q3 12

= 20 + 0,896 = 20,896 ≈ 21 млрд р.

Следовательно, 25 % предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 млрд р. 25 % - свыше 21 млрд р. а остальные предприятия имеют доход в пределах от 18 до 21 млрд р. по стоимости ОПФ.

Пример:Имеются выбо­рочные данные о стаже работников коммерческих банков (см.таблицу ниже).Определить показатели вариации.

Стаж работы и численность работников коммерческих банков

Стаж, лет	Численность, чел., f	Середина интервала, х						xf			x2	x2f
<3 3-5 5-7 7-9 >9			-1	-10
Итого		-	-			-			-		-

 

Находим средний стаж работников по формуле методом моментов:

где а = 4 при наибольшей частоте f = 48, k = (5 – 3) = 2.

Момент первого порядка: ;

лет - средний стаж работников.

1. Размах вариации: R = х _max - x _min = 10 – 2 = 8 лет.

2. Среднее линейное отклонение: лет.

3. Дисперсия по способу моментов:

т.е. - момент второго порядка;

4. Среднее квадратическое отклонение: г. Стаж работников банка отклоняется от среднего стажа 5 лет на 1,9 гоа в ту и другую сторону.

5. Коэффициент осцилляции ; разница между крайними значениями по стажу работы составляет 160% среднего зна­чения.

6. Относительное линейное отклонение ; абсолютное отклонение от средней величины составляет 31,2 %.

7. Коэффициент вариации , так как V>33%;следовательно, выборочное наблюдение о стаже работников коммерческих банков не является однородным, и для дальнейшего анализа нужно пересмотреть исходный ряд распределения. Данный ряд нельзя ис­пользовать в целях прогноза.

Можно вычислить в данном примере среднюю величину и диспер­сию обычным способом по сгруппированным данным для дискретного ря­да распределения:

а) средний стаж работников: лет;

б) средний квадрат (дисперсия): ;

в) кроме того, дисперсию можно вычислить по упрощенной формуле:

для сгруппированных данных:

Получается одно и то же значение дисперсии независимо от приме­няемой формулы вычисления.

Задача 8. (на правило сложения дисперсий).

При изучении влия­ния квалификации (тарифного разряда) рабочих на уровень производи­тельности труда в цехе были получены данные, представленные в таблице. Определить общую и групповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий, проверить правило сложения дисперсий; коэффициент детерминации; эмпирическое корреляционное отношение.

. Распределение рабочих по среднечасовой выработке изделий

№ п/п	Рабочие IV разряда	№ п/п	Рабочие V разряда
Выработка, шт., yi				Выработка, шт., yi
		-2 -1 -1					-1 -1
∑		-			∑		-

 

В примере данные группируются по квалификации (тарифному разря­ду) рабочих, являющейся факторным признаком х. Результативный при­знак у_i, варьирует как под влиянием систематического фактора х - квали­фикации, так и других неучтенных случайных факторов (внутригрупповая вариация). Необходимо измерить эту вариацию с помощью дисперсий.

1. Вначале вычислим средние выработки по каждой группе и общую среднюю по формуле средней арифметической простои . По первой группе по второй группе ; по двум группам вместе:

Вычисление внутригрупповых дисперсий проводится по формулам простым по каждой группе:

первая ; вторая

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработки в каж­дой группе, вызванные всеми возможными факторами, кроме различий в квалификационном разряде, так как внутри группы все рабочие имеют од­ну квалификацию.

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

Эта дисперсия отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих в среднем по всей совокупности.

3. Исчислим межгрупповую дисперсию по формуле:

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификации.

4. Исчислим общую дисперсию по формуле:

Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию среднечасовой выработки изделий всеми рабочими цеха.

5. Правило сложения дисперсий:

6. Коэффициент детерминации:

или 66,67%.

Следовательно, на 66,67% вариация производительности труда рабочих вызвана различиями в их квалификации и на (100 - 66,67) = 33,33% - влиянием всех прочих неучтенных случайных факторов.

7. Эмпирическое корреляционное отношение:

что свидетельствует о тесной связи между квалификацией рабочих и производительностью их труда.