Понятие о редуцировании площади участка

Участок местности в общем случае имеет неровную поверхность, и поэтому в геодезии различают площадь физической поверхности участка P_ф и площадь проекции участка на горизонтальную плоскость P; ясно, что P_ф > P.

Пусть участок прямоугольной формы расположен на плоскости G, имеющей угол наклона ν (рис.6.9).

Площадь прямоугольника ABCD на плоскости G будет равна:

P_ф = a * b, (6.28)

где a, b - стороны прямоугольника.

Площадь горизонтальной проекции этого же прямоугольника равна:

P = a * b' = a * b * Cos (ν)

или

P = P_ф * Cos(ν). 1 (6.29)

Рис.6.9

Далее можно написать:

P = P_ф - ΔP, (6.30)

где

ΔP = 2 * P_ф * Sin²(ν/120). (6.31)

Таким образом, относительное искажение площади участка ΔP/P_ф зависит только от угла наклона; при этом форма участка и его расположение в плоскости G не влияют на величину искажения. В следующей таблице приведены численные значения относительного искажения площади участка для разных углов наклона ν.

Таблица 6.2

ν
ΔР/P	1/6570	1/11640	1/730	1/410	1/263	1/182	1/132	1/103	1/81	1/66

Если угол наклона плоскости G неизвестен, то абсолютное искажение площади можно получить по известным координатам и отметкам поворотных точек контура участка, выполнив следующие операции:

1. по координатам поворотных точек вычислить площадь горизонтальной проекции участка:

P = 0.5 * Σ [ X_i * (Y_i+1 - Y_i-1)],

1. решить обратные задачи по всем сторонам контура участка и получить горизонтальные проложения S_i и дирекционные углы α_i всех сторон,
2. вычислить длины сторон контура по формуле:

(6.32)

где h_i - превышение по i - той стороне,

1. одну из поворотных точек контура участка (например, 1-ю) принять за исходную в местной системе координат на плоскости G, то-есть,

X'₁ = X₁, Y'₁ = Y₁,

и вычислить координаты всех остальных поворотных точек контура в этой системе по формулам:

X'_i+1 = X'_i + d_i * Cos(α_i),
Y'_i+1 = Y'_i + d_i * Sin(α_i),

1. вычислить площадь участка на плоскости G:

P_ф = 0.5 * S[X'_i * (Y'_i+1 - Y'_i-1)],

1. вычислить абсолютное искажение площади участка:

ΔP = P_ф - P.

Если поверхность участка имеет произвольно сложную форму, то участок нужно разделить на t частей желательно треугольной формы, каждая из которых имеет постоянный угол наклона к горизонту, вычислить искажения площади для всех t частей и найти их сумму.

При делении участка нужно соблюдать следующие правила:

• вершины гор и донья котловин должны фиксироваться точками с координатами и отметками,
• каждая линия водораздела, водослива, бровки, подошвы и перегиба ската должна фиксироваться не менее, чем двумя точками с координатами и отметками.

Координаты и отметки этих точек можно определять по топографической карте или плану.