Задачі до розділу 2.3

Задача 2.3.1

На складі зберігається продукція з трьох партій, відомо, що з I партії 90% продукції відповідає стандарту, з II партії – 80%, з III партії – 85%. З кожної партії обрано по одиниці продукції. Знайти ймовірність того, що всі три одиниці стандартні.

 

Рішення

 

Розглянемо події:

А – продукція I партії стандартна;

В – продукція II партії стандартна;

С – продукція III партії стандартна.

Обрання стандартної продукції з I, II, III партій є подіями незалежними, причому такими, що відбуваються одночасно. Тому застосуємо теорему множення ймовірностей незалежних подій.

Р(А) =0,9

Р(В) =0,8

Р(С) =0,85

 

Задача 2.3.2

 

Два біатлоністи стріляють по мішенях. Ймовірність влучення для першого біатлоніста 0.85, а для другого - 0.9. Знайти ймовірність того, що влучить у мішень тільки один біатлоніст.

 

Рішення

 

Подія А – влучить у мішень тільки один біатлоніст.

Подія А відбудеться у випадку: влучить в мішень тільки перший біатлоніст, а другий не влучить; або у випадку: влучить в мішень другий біатлоніст, а перший не влучить.

Позначимо події:

подія В –перший біатлоніст влучить у мішень;

подія С –другий біатлоніст влучить у мішень

і протилежні їм події:

- перший біатлоніст не влучить у мішень;

- другий біатлоніст не влучить у мішень.

Тоді за допомогою теорем додавання й множення ймовірностей отримаємо:

 

Р(А)=Р(В) + Р(С) ,

де Р(В)= 0,85, Р(С)= 0,9, а протилежні їм події мають ймовірності

 

= 1 - Р(В) = 1 – 0,85 = 0,15;

= 1 – Р(С) = 1 – 0,9 = 0,1.

 

Р(А) =

Задача 2.3.3

Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що вироб стандартний 0.75. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки один стандартний.

 

Задача 2.3.4

Студент розшукує потрібне йому питання в трьох підручниках. Ймовірність того, що питання міститься в першому підручнику 0,4; в другому підручнику 0,7, а в третьому підручнику 0,75. Знайти ймовірність того, що питання міститься у всіх трьох підручниках.

 

Задача 2.3.5

 

Кинуто три гральних кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях всіх кубиків випаде число 3.

 

Розділ 2.4. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Означення: Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному й тому ж випробуванні.

Наприклад, подія “поява трьох очок при киданні грального кубика” і подія “поява непарного числа очок при киданні грального кубика” є сумісними.

 

Теорема: Ймовірність появи однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи

 

. (2.7)

 

Доведення

 

Оскільки події А і В – сумісні, тоді подія А+В відбудеться, якщо відбудеться одна з трьох несумісних подій: .

 

.

 

Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна з подій . За теоремою додавання:

 

Аналогічно:

 

Звідси:

.

 

При використанні одержаної формули треба мати на увазі, що події А і В можуть бути як залежними, так і незалежними, тому формула (2.7) набуде вигляду

для незалежних подій: ; (2.8)

 

для залежних подій: . (2.9)

 

Наприклад:

Ймовірність одержання сертифікату якості для першого і другого виду виробів відповідно дорівнює =0,7 і =0,8. Знайти ймовірність одержання сертифікату якості хоча б одним виробом підприємства.

Рішення

 

Подія А – перший вироб одержить сертифікат якості.

Подія В – другий вироб одержить сертифікат якості.

Події А і В незалежні (одержання сертифікату якості першим виробом не залежить від одержання сертифікату другим).

Подія А+В – хоча б один вироб підприємства одержав сертифікат якості, тобто або перший (А), або другий (В), або обидва вироби (АВ), тоді за формулою (2.7)

 

= 0,7+0,8 - 0,7·0,8=0,94.

Розділ 2.5. Завдання до заняття 2

Питання до заняття 2

1. Що називається сумою двох подій?

2. Які події називаються несумісними?

3. Сформулювати теорему додавання двох несумісних подій.

4. Сформулювати теорему про ймовірність повної групи подій.

5. Які події називаються протилежними?

6. Сформулювати теорему про суму ймовірностей протилежних подій.

7. Що називається добутком двох подій?

8. Яка ймовірність називається умовною?

9. Сформулювати теорему про ймовірність сумісної появи двох залежних подій.

10. Які події називаються незалежними?

11. Сформулювати теорему про ймовірність сумісної появи двох незалежних подій.

12. Які події називаються сумісними?

13. Сформулювати теорему додавання двох сумісних подій.

Розділ 3.1. Ймовірність появи хоча б однієї події

Теорема: Ймовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій .

 

. (3.1)

 

Доведення

 

Нехай подія А полягає в появі хоча б однієї з подій . Подія А і подія (жодна з подій не настала) протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці.

.

Звідси

,

 

,

 

.

 

Наслідок: Якщо події мають однакову ймовірність, що дорівнює , тоді ймовірність появи хоча б однієї з цих подій визначається за формулою

. (3.2)

 

Наприклад:

 

1. Ймовірність виготовлення стандартної деталі на одному з трьох верстатів відповідно дорівнюють =0,8, = 0,85, = 0,9. Знайти ймовірність виготовлення хоча б однієї стандартної деталі при роботі на трьох верстатах (подія А).

Рішення

 

Знайдемо ймовірності протилежних подій (виготовлення нестандартних деталей на кожному з верстатів)

 

 

.

 

2. Ймовірність того, що подія відбудеться хоча б один раз в трьох незалежних в сукупності випробуваннях, дорівнює 0,964. Знайти ймовірність появи події в одному випробуванні, вважаючи, що ймовірність появи події в кожному випробуванні однакова.

Рішення

 

Використовуючи формулу (3.2), маємо