Обоснование применения модели AR

Для того, чтобы обосновать применение модели авторегрессии, обычно рассматривается соотношение между двумя дисперсиями. – дисперсия исходного процесса; – дисперсия ошибки.

Рассмотрим выражение (2) в случае .

.

Рассмотрим

Так как уровень ряда и текущий уровень ошибки являются независимыми случайными величинами, то . Поэтому,

Получаем, что .

Рассмотрим . Было введено, что коэффициент автокорреляции => . Подставим полученное выражение в : ,

– выражение дисперсии ряда через дисперсию ошибки.

Пусть по результатам наблюдений получены выборочные коэффициенты , Тогда можно оценить отношение . Модель считается хорошей, если (гораздо больше).

 

Примеры анализа моделей:

1. Модель AR(1).

Вид .

Система уравнений Юла-Уокера .

Оценка качества. Соотношение: . Видно, что чем ближе коэффициент к 1, тем выше качество модели .

Например, пусть , тогда . При таком значении коэффициента корреляции дисперсия ошибки в 5 раз меньше дисперсии уровня ряда.

2. Модель AR(2).

Вид .

Система Юла Уокера принимает вид:

. Решение данной системы имеет вид: .

Оценка качества. Подставим оценки коэффициентов в выражение для дисперсии: . После решения системы можно определить для полученной модели соотношение между дисперсиями. Анализ показывает, что при значении соотношение между дисперсиями также равно . Для модели AR(1), AR(2) можно наблюдать соотношение между дисперсиями .

 

Автокорреляционная функция – это коэффициенты автокорреляции . Графическое изображение этих коэффициентов носит название корреллограмма. С её помощью идентифицируют модели авторегрессии скользящего среднего.

 

 

 

 

2 4

1 3

 

Для каждого процесса характерно своё поведение автокорреляционной функции.

 

Модели скользящего среднего MA(m )

Эти модели строят на основании предположения о том, что текущее значение уровня ряда представляется в виде линейной комбинации текущей и прошлых значений ошибки, то есть

,

где – параметры модели, – белый шум, – порядок модели.

Напомним, , , .

Автокорреляционная функция имеет вид: , .

Найдём коэффициенты автокорреляции для модели MA(m)

.

Вспомогательный результат

,

.

Рассмотрим его выражение при ,

, .

Пусть теперь , тогда

. Аналогично для любого можно записать, что

.

Полученное выражение используется при идентификации моделей. Автокорреляционная функция модели MA(m)) обрывается после момента :

 

 

 

MA(1) MA(2)

 

1 2 3 1 2 3

 

Получим выражение для коэффициентов автокорреляции.

Для этого разделим на : .

Аналогично решению системы Юла-Уокера, для получения оценок коэффициентов модели M А необходимо вычислить выборочные коэффициенты автокорреляции , подставить полученные выражения и получить оценки . Однако такую систему нужно решать численными методами.

Примеры нахождения оценок MA(1).

Вид .

Выражение для дисперсии , .

Пусть получено значение выборочного коэффициента автокорреляции, тогда получаем , , ,

, . , .

Отсюда следует, что из двух корней полученного уравнения, один из корней всегда , а другой . Согласно теории стационарных процессов необходимым условием стационарности является . Также необходимо, чтобы , .

Вывод: модели скользящего среднего порядка 1 могут применяться только для описания процесса с автокорреляционной функции, обрывающейся после первой задержки и таких, что .

Оценим дисперсию для процесса MA(1), получаем: . Это означает, что точность модели MA равна 1,25 и относительный выигрыш в точности составляет менее 25%.

 

Обобщение модели ARMA(p,q) или ARIMA(p,d,q) – модели авторегрессии скользящего среднего ARMA(p,q)=ARIMA(p,0,q).

Эти модели основаны на предположении о том, что текущий уровень ряда является линейной комбинацией p своих предыдущих уровней и q своих предыдущих ошибок. При идентификации модели ARMA(p,q) пользуются тем, что их автокорреляционные функции затухают плавно по экспоненте или синусоиде.

Общий вид модели: .