Понятие о форме и размерах земли. Эллипсоид Ф.Н.Красовского

Известно, что Земля имеет шарообразную форму, несколько сплюснутую в направлении полюсов. Для многих областей науки и техники необходимо точное знание формы и размеров Земли: для астрономии, географии, геологии и других наук. Физическую поверхность Земли общей площадью около 510 млн км² составляют Мировой океан - примерно 71 % и суша, которая представлена всего 29 % всей поверхности. На суше име­ются горы, впадины, возвышения, понижения, равнины, в совокуп­ности образующие рельеф земной поверхности. Средняя высота суши над уровнем океана составляет всего около 875 м, тогда как средняя глубина Мирового океана равна примерно 3800 м. Таким образом, земная суша может быть представлена в виде небольшого по площади участка относительно всей поверхности планеты и сравнительно невысокого плоскогорья.

На основании этих данных за фигуру Земли принимают поверх­ность Мирового океана в невозмущенном состоянии, т.е. без волн, отливов и приливов, мысленно продолженную под сушей. Такая замкнутая поверхность получила название уровенной поверхно­сти,а тело, ограниченное ею, - геоидом. Основное свойство уро­венной поверхности состоит в том, что она всюду горизонтальна, т.е. перпендикулярна в каждой своей точке к направлению силы тяжести (отвесной линии). Вследствие неравномерного распределения масс в теле Земли направления силы тяжести в разных точках ее поверхности не пе­ресекаются в едином центре и поэтому геоид имеет очень сложную форму, которую трудно описать математически. В геодезии вместо фигуры геоида принимают близкую к ней фигуру эллипсоида вращения (сфероида).

В отдельных странах (или группах стран) пользуются размерами своих "рабочих" эллипсоидов, полученных из результатов геодезических измерений, выполненных на территории своей страны и частично на территориях соседних стран. Такие "рабочие" эллипсоиды носят название референц-эллипсоидов. Референц-эллипсоидом называется эллипсоид, имеющий строго определенные размеры и ориентированный в теле Земли при условии возможно большей его близости к поверхности геоида для территории данной страны.

С 1946 г. для производства геодезических работ в России и странах СНГ принят эллипсоид Красовского с размерами а = = 6 378 245 м, b = 6 356 863 м, а = 1:298,3. Эллипсоид назван так в честь советского ученого-геодезиста Ф.Н. Красовского, руково­дившего работами по определению референц-эллипсоида, наиболее подходящего для территории стран бывшего Советского Союза.

Для приближенных вычислений земной эллипсоид принимают за шар одинакового с ним объема. По данным Ф.Н. Красовского радиус такого шара равен 6371,11 км. В последующие годы учеными разных стран были вычислены размеры земного эллипсоида по наблюдениям за движением искус­ственных спутников Земли. Полученные результаты оказались очень близкими к размерам эллипсоида Красовского.

Принцип изображения земной поверхности на плоскости

Физическая поверхность Земли состоит, как уже отмечалось, из неправильных пространственных форм: холмов, оврагов, впадин и т.п. Для ее изображения на плоскости используют метод ортого­нального проектирования. Сущность этого метода состоит в том, что все точки физической поверхности Земли проектируют на поверхность земного эллип­соида, проводя через них отвесные линии до пересечения с уровен­ной поверхностью Р₀ (рис. 1.2, а). В пересечении получают точки а, Ь, с, d, которые называют горизонтальными проекциями точек местности А, В, С, D.

Рис. 1.2. Схемы проектирования точекместности: а - на уровенную поверхность; б - на горизонтальную плоскость

Если таким образом спроектировать на уровенную поверхность все точки, то окажется, что каждой линии на земной поверхности соответствует линия на уровеннои поверхности. Например, четы­рехугольник abed на уровеннои поверхности есть горизонтальная проекция пространственного четырехугольника ABCD земной по­верхности (см. рис. 1.2, а

Чтобы на горизонтальной проекции можно было судить о форме пространственной фигуры ABCD, необходимо знать расстояния Аа, ВЬ, Сс и Dd точек местности до уровенной поверхности, называе­мые высотами точекместности. Взаимное положение горизонтальных проекций точек а, Ь, с, d на уровенной поверхности определяется координатами:

географическими (широтойи долготой) или прямоугольными (абсциссами X и ординатами Y). Изображая небольшой по площади участок местности на бума­ге, кривую уровенную поверхность Ро заменяют горизонтальной плоскостью Р (рис. 1.2, б), касающейся поверхности Р₀ в центре данного участка. При этом проектирующие отвесные линии Аа, ВЬ, Сс, Dd, перпендикулярные к горизонтальной плоскости Р, будут параллельны между собой. Стороны ab, be, cd,... и углы между ними являются горизонтальными проекциями соответствующих линий и углов местности. Горизонтальные проекции линий d\, d₂, dj, d₄... называются го­ризонтальными проложениями 5_Ь S₂, S3, S₄,. От измеренной на местности наклонной линии d\ можно перейти к ее горизонтально­му проложению S\ при помощи измеренного угла наклона V| к го­ризонту этой линии.

Виды картографических проекций
Картой называют уменьшенное обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное по определенному масштабу и способу.
Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений. Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов — разрывы.
Для решения инженерных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности — картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.
Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией, а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей — картографической сеткой.
Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки.
По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные.
Равноугольные проекции. На этих проекциях углы не искажаются, т. е. углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле. Если объект круглой формы в природе, то и на карте в равноугольной проекции он изобразится кружком некоторого радиуса. Но линейные же размеры на картах этой проекции будут искажены.
Равновеликие проекции. На этих проекциях сохраняется пропорциональность площадей фигур, т. е. если площадь какого-либо участка на Земле в два раза больше другого, то на проекции изображение первого участка по площади тоже будет в два раза больше изображения второго. Однако в равновеликой проекции не сохраняется подобие фигур. Объект круглой формы будет изображен на проекции в виде равновеликого ему эллипса.
Произвольные проекции. Эти проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни равенства площадей, но могут иметь какие-нибудь другие специальные свойства, необходимые для решения на них определенных практических задач.

Картографическая сетка для каждого класса проекций, в которой изображение меридианов и параллелей имеет наиболее простой вид, называется нормальной сеткой.
По способу построения картографической нормальной сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, азимутальные, условные и др.
Конические проекции. Проектирование координатных линий Земли производят по какому-либо из законов на внутреннюю поверхность описанного или секущего конуса, а затем, разрезав конус по образующей, разворачивают его на плоскость.
Для получения нормальной прямой конической сетки делают так, чтобы ось конуса совпадала с земной осью PNР S (рис, 33). В этом случае меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, а параллели — дугами концентрических окружностей. Если ось конуса располагают под углом к земной оси, то такие сетки называют косыми коническими.
В зависимости от закона, выбранного для построения параллелей, конические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Конические проекции применяются для географических карт.
Цилиндрические проекции. Картографическую нормальную сетку получают путем проектирования координатных линий Земли по какому-либо закону на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра, ось которого совпадает с осью Земли (рис.34), и последующей развертки по образующей на плоскость.

Рис. 33

В прямой нормальной проекции сетка получается из взаимно перпендикулярных прямых линий меридианов Л, В, С, D, F, G и параллелей аа',bb',сс При этом без больших искажений будут изображены участки поверхности экваториальных районов (см, окружность К и ее проекцию К на рис. 34), но участки полярных районов в этом случае не могут быть спроектированы.
Если повернуть цилиндр так, чтобы ось его расположилась в плоскости экватора, а поверхность его касалась полюсов, то получается поперечная цилиндрическая проекция (например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса). Если цилиндр поставить под другим углом к оси Земли, то получаются косые картографические сетки. На этих сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями.

 

 

Рис. 34

Азимутальные проекции. Нормальную картографическую сетку получают проектированием координатных линий Земли на так называемую картинную плоскость Q (рис. 35) — касательную к полюсу Земли. Меридианы нормальной сетки на проекции имеют вид радиальных прямых, исходящих из. центральной точки проекции P^N под углами, равными соответствующим углам в натуре, а параллели — концентрическими окружностями с центром в полюсе. Картинную плоскость можно располагать в любой точке земной поверхности, и точку касания называют центральной точкой проекции и принимают за зенит.
Азимутальная проекция зависит от того, какими радиусами проводятся параллели. Подчиняя радиусы той или иной зависимости от широты, получают различные азимутальные проекции, удовлетворяющие условиям либо равноугольности, либо равновеликости.

 

Рис. 35

Перспективные проекции. Если картографическую сетку получают проектированием меридианов и параллелей на плоскость по законам линейной перспективы из постоянной точки зрения Т.З. (см. рис. 35), то такие проекции называют перспективными. Плоскость можно располагать на любом расстоянии от Земли или так, чтобы она касалась ее. Точка зрения должна находиться на так называемом основном диаметре земного шара или на его продолжении, причем картинная плоскость должна быть перпендикулярна основному диаметру.
Когда основной диаметр проходит через полюс Земли, проекция называется прямой или полярной (см. рис. 35); при совпадении основного диаметра с плоскостью экватора проекция называется поперечной или экваториальной, а при других положениях основного диаметра проекции называются косыми или горизонтальными.
Кроме того, перспективные проекции зависят от расположения точки зрения от центра Земли на основном диаметре. Когда точка зрения совпадает с центром Земли, проекции называются центральными или гномоническими; когда точка зрения находится на поверхности Земли - стереографическими; при удалении точки зрения на какое-либо известное расстояние от Земли проекции называются внешними, и при удалении точки зрения в бесконечность — ортографическими.
На полярных перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются аналогично полярной азимутальной проекции, но расстояния, между параллелями получаются разными и обусловлены положением точки зрения на линии основного диаметра.
На поперечных и косых перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются в виде эллипсов, гипербол, окружностей, парабол или прямых линий.
Из особенностей, свойственных перспективным проекциям, следует отметить, что на стереографической проекции любой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде окружности; на центральной проекции всякий большой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде прямой линии.
Условные проекции. К этой категории относятся все проекции, которые по способу построения нельзя отнести ни к одному из перечисленных выше видов проекций. Они обычно удовлетворяют каким-нибудь заранее поставленным условиям, в зависимости от тех целей, для которых требуется карта. Число условных проекций не ограничено.
Небольшие участки земной поверхности до 85 км можно изобразить на плоскости с сохранением на них подобия нанесенных фигур и площадей. Такие плоские изображения небольших участков земной поверхности, на которых искажениями практически можно пренебрегать, называются планами.
Планы обычно составляют без всяких проекций путем непосредственной съемки и на них наносят все подробности снимаемого участка.

 

Метод проекций. Для многих практических целей можно допустить, что поверхности геоида и сфероида на данном участке совпадают, образуя одну уровенную (горизонтальную) поверхность (рис. 2). Физическая земная поверхность имеет сложную форму: на ней встречаются неровности в виде гор, котловин, лощин и т. д. Горизонтальные участки встречаются редко. При изучении физической земной поверхности воображают, что ее точки Л, В, С, D и It проектируются отвесной линией на уровенную, т. е. горизонтальную поверхность MN, на которой при этом получаются точки а, Ь, с, d и е, называемые горизонтальными проекциями соответствующих точек физической земной поверхности. Каждой линии или контуру на физической земной поверхности соответствует линия или контур на воображаемой горизонтальной поверхности MN. Задача изучения физической земной поверхности распадается, таким образом, на две: 1) определение положения горизонтальных проекций точек на уровенной поверхности MN и 2) нахождение высот (Аа, ВЬ...) точек физической земной поверхности над поверхностью MN.

Высоты, отнесенные к уровню океана или моря, называются абсолютными, а отнесенные к

Рис. 2

Е

 

произвольной уровенной поверхности, параллельной MN, - условными. Числовые значения высот точек земной поверхности называют отметками. Обычно за начало счета абсолютных высот принимают средний уровень океана или открытого моря. В СССР счет абсолютных высот ведется от нуля Кронштадтского футштока (футшток - медная доска с горизонтальной чертой, вделанная в гранитный устой моста обводного канала. Горизонтальная черта называется нулем футштока.

По данным 1946—1947 гг., средний уровень Балтийского моря в Кронштадте ниже нуля футштока на 10 мм.

Положение горизонтальных проекций точек земной поверхности на уровенной поверхности MN (рис. 2) может быть определено координатами, взятыми в какой-нибудь системе (координаты - это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве относительно принятой системы координат.

Положение точек земной поверхности на глобусе определяется географическими координатами при помощи градусной сетки, а на карте - теми же координатами при помощи картографической сетки. На плане и топографической карте для той же цели пользуются плоскими прямоугольными координатами. Чтобы установить связь между географическими координатами любой точки Земли на сфере или сфероиде и прямоугольными координатами той же точки на плоскости, применяют особый способ проектирования всего земного шара на плоскость по частям, или по так называемым зонам; весь земной шар разделяют при этом меридианами на шести- или трехградусные зоны, простирающиеся от северного полюса к южному. На картах, составленных в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции, искажения длин в различных точках проекции различны, но по разным направлениям, выходящим из одной и той же точки, эти искажения будут одинаковы. Круг весьма малого радиуса, взятый на уроненной поверхности, изобразится в этой проекции тоже кругом. Поэтому говорят, что рассматриваемая проекция конформна, т. е. сохраняет подобие фигур на сфере и в проекции при весьма малых раз­мерах этих фигур. Таким образом, изображения контуров земной поверхности в этой проекции весьма близки к тем, которые получаются на планах, а вблизи среднего меридиана зоны практически такие же, как и на планах.

Проектируя последовательно одну зону за другой, можно представить в этой проекции всю поверхность земного шара. В географическом отношении такая проекция не имеет практического значения, так как она дает не сплошное изображение всей земной поверхности, а с разрывами, увеличивающимися к полюсам. Эта проекция ценна тем, что Она, во-первых, позволяет выбирать системы плоских прямоугольных координат по всей поверхности Земли с единым началом координат для каждой данной зоны; во-вторых, дает возможность находить по географическим координатам любой точки земного тара или сфероида прямоугольные координаты ее изображения и, наоборот, по данным плоским прямоугольным координатам точки в этой проекции вычислить соответствующие им географические координаты на сфере или на сфероиде.

 

 

Положение пунктов на физической поверхности Земли определяется в различных системах координат. Рассмотрим некоторые из них.

Географические координаты (долгота l и широта j) являются обобщенным понятием ас­трономических и геодезических координат и используются в случаях, когда нет необходимости учитывать разницу между названными координатами. Астрономические широту и долготу опре­деляют с помощью специальных приборов относительно уровенной поверхности и направления силы тяжести. При проецировании астрономических координат на поверхность земного рефе­ренц-эллипсоида получают геодезические широту и долготу.

Прямоугольные местные координаты являются производными от зональной системы координат Гаусса-Крюгера и распространяются на небольшой по площади территории. Ось абсцисс совмещают с меридианом некоторой точки участка либо ориентируют параллельно основным осям инженерных сооружений. Координатные четверти нумеруют по часовой стрелке и именуют по сторонам света: I-СВ, II-ЮВ, III-ЮЗ, IV-СВ.

Полярная система координат определяет положение точки на плоскости полярным гори­зонтальным углом, отсчитываемым от некоторого начального направления, и горизонтальным проложением.

Спутниковые системы определения координат (российская Глонасс и американская GPS), в состав которых входят: комплекс наземных станций автоматического наблюдения за спутниками, искусственные спутники Земли с радиусом орбит около 26 000 км и приемная аппаратура потребителей.

При функционировании системы пространственное положение спутников определяют с наземных станций наблюдений, равномерно расположенных по всему миру и имеющих определенные пространственные координаты. Все станции связаны с головной станцией управления высокоскоростными линиями передачи данных и уточнения параметров орбит спутников в единой системе координат.

Спутники передают периодически уточняемые эфемириды - набор координат, которые определяют положение спутников на орбите в различные моменты времени. Под влиянием гравитационного поля Земли и других факторов параметры исходных координат спутниковых систем изменяются и поэтому постоянно уточняются. В настоящее время точность "бортовых эфемирид", которые получают путем экстраполяции уточненной орбиты на несколько дней вперед, составляет 20-100 м, а при использовании специальных методов обработки - около 1 м.

При эксплуатации системы GPS определение местоположения предусмотрено в Мировой системе координат 1984 г (WGS-84). Начало координат в этой системе находится в центре масс Земли, ось Z параллельна направлению на условный земной полюс, ось X определяется плоскостями начального меридиана WGS-84 и экватора. Начальный меридиан WGS-84 параллелен нулевому меридиану, закрепленному координатами станций наблюдений. Ось Y дополняет систему координат до правой. Начало и положение осей координат системы WGS-84 совпадают с геометрическим центром и осями общеземного эллипсоида WGS-84.

В России создана геодезическая система координат ПЗ-90 (параметры Земли 1990 г). Она закрепляется 30 опорными пунктами на территории бывшего СССР, координаты которых получены методами космической геодезии.