Виды условных уравнений в триангуляции
При построении триангуляции в целях контроля и повышения точности кроме необходимых измеряют избыточные величины. Например, в треугольниках измеряют все три угла, хотя для их решения необходимо только два. Геодезические сети, имеющие только необходимые исходные данные, называются свободными. Если сеть содержит избыточные исходные данные, то она несвободная. Каждое избыточное измерение и избыточное исходное данное позволяют записать математическое соотношение между измеренными величинами, т.е. условное уравнение. При создании триангуляции возникают условия фигур, горизонтов, сумм, полюсов, сторон, дирекционных углов и координат. 1) Условие фигур, заключается в том, что в любой замкнутой фигуре сумма уравненных углов должна быть 1800(n –2). Обозначим измеренные углы арабскими цифрами 1,2,3…, поправки к ним – цифрами в скобках (1), (2), (3)…, уравненные значения углов – цифрами с чертой
Учитывая, что
Получим 1+(1)+2+(2)+3+(3)–1800 =0. Обозначим 1+2+3–1800 = w. (2) Тогда (1)+(2)+(3)+w = 0. (3) Полученное уравнение называется условным уравнением поправок. Здесь w – свободный член (невязка). 2) Условие горизонта заключается в том, что сумма уравненных углов, замыкающих горизонт на пункте, должна равняться 3600. Применительно к рисунку имеем
Выразив уравненные углы через измеренные и поправки к ним, получим условное уравнение поправок (3)+(6)+(9)+(12)+(15) +wГ = 0, (5) где wГ = 3+6+9+12+15–3600 – свободный член (невязка). 3) Условие сумм заключается в том, что сумма, уравненных углов, входящих в исходный угол, должна равняться его значению. Условие возникает при построении типовой фигуры «вставка в угол». Условие сумм для рисунка запишется так Условное уравнение поправок будет иметь вид (2)+(4) + wS = 0, (7) где
Условие сумм можно рассматривать и как условие дирекционных углов, так как B можно выразить через исходные дирекционные углы: B = α BA – α BC. (9) 4) Полюсное условие заключается в том, что длина одной и той же стороны, вычисленная двумя независимыми путями по уравненным углам должна иметь в обоих случаях одинаковое значение. Возьмем в качестве исходной сторону ОА и вычислим дважды сторону ОD, решая треугольникипо часовой стрелке и против часовой стрелки. В результате получим Разделив а) на б), получим условие полюса Равенство (10) можно получить, решая треугольники по ходу часовой стрелки, начиная от стороны OA и кончая стороной OA. Все стороны имеют общую точку О, называемую полюсом. Для перехода к условным уравнениям поправок в уравнении (10) необходимо заменить уравненные углы измеренными с поправками и привести его к линейному виду, разложив в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми степенями поправок. В результате получим Если второе слагаемое умножить и разделить на sin1, то его с достаточной точностью можно заменить значением Аналогично мож-но преобразовать и другие слагаемые. Введем следующие обозначения Тогда полюсное условное уравнение поправок в угловой мере будет иметь вид Если условиться обозначать связующие углы буквами А и В, как показано на рисунке, то условие полюса можно записать короче:
5) Условие сторон (базисов) заключается в том, что длина одной исходной стороны, вычисленная по другой исходной стороне и уравненным углам должна быть равна известному ее значению.
Для данной цепи треугольников, заключенной между исходными сторонами b1 и b2 можно записать Это равенство и будет выражать условие сторон. Оно аналогично (10). Для перехода к условному уравнению поправок необходимо поступить так,как в предыдущем случае. В результате получим Если связующие углы числителя обозначить через А, а в знаменателе через В, то выражения (14), (15) и (16) можно записать короче: 6) Условие дирекционных углов заключается в том, что дирекционный угол одной исходной стороны, вычисленный по дирекционному углу другой исходной стороны и уравненным углам должен быть равен известному его значению.
Заменим уравненные углы измеренными c поправками αAB–[3+(3)]+[6+(6)]–[9+(9)]+[12+(12)]– αСD=0 Обозначим wα = α AB –3 + 6 – 9 + 12 – α СD. (20 Тогда условное уравнение поправок примет вид: –(3) + (6) – (9) + (12) + w α = 0. (21) 7. Условие координат заключается в том, что координаты исходной точки вычисленные по уравненнымуглам и координатам другой исходной точки должны быть равны известному значению. Условия абсцисс и ординат возникают тогда, когда в сети можно выделить ход, заключенный между двумя исходными пунктами. В сети (рис. 3), можно наметить ход между точками В и С, показанный пунктиром. Здесь (Δх) и (Δу) – поправки в прираще-ния координат, а wx и wy свободные члены (невязки), вычисляемые по формулам В окончательном виде поправки должны находиться к углам. Общее число независимых условных уравнений в сети триангуляции и, в том числе по видам, определяется по схеме сети. 30 Допустимые размеры свободных членов условных уравнений Размеры свободных членов условных уравнений зависят от точности полевых измерений, ошибок исходных данных и формы сетей. Если ошибками исходных данных пренебречь, то невязки будут являться функциями измеренных величин: w = f(l 1, l 2, … ln). По правилам теории ошибок измерений где f – частные производные (коэффициенты при поправках в условных уравнениях); т – СКО измерений. При равноточных измерениях Принимая зависимость Δ пр = 2,5 m,
С учетом ошибок исходных данных применительно к триангуляции предельные невязки найдутся по формулам
|
Тогда условие фигуры ABO запишется так
Условное уравнение поправок
получим
