Поправки и их свойства. Выражение средней квадратической ошибки через поправки. Средняя квадратическая ошибка округленияПоправка представляет собой разность между вероятнейшим значением величины (средним арифметическим) и результатом ее измерения Если арифметическая средина получена из п измерений, то можно записать: V, =1-4 у2 =1ЛЪ Сложим эти равенства. Подставив получим п Это одно из свойств поправок, которое используется для контроля вычисления значения I и самих поправок у. Если арифметическая средина округлена и ошибка округления. Величина \\^<И,5 единицы последнего разряда X, поэтому |[ у ]|<0,5 л в единицах того же разряда. Указанные поправки обладают еще одним важным свойством [/] = тш, (37) т.е. сумма квадратов отклонений результатов измерений от среднего арифметического всегда меньше, чем от любого другого числа. По вероятнейшим поправкам можно определить среднюю квадратическую ошибку. Пусть некоторая величина X измерена я раз. Из результатов измерений получено среднее арифметическое. Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим. разделим на… Заменим истинную ошибку среднего арифметического среднейквадратическойи,учитывая. что [ у ]=0, получими Отсюда По этой формуле вычисляется средняя квадратическая ошибка одного измерения. Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического найдется по формуле Л/= /_0_. (39) Вычисление величины [у2] контролируется по формулам Й = -И1 (40) или [У2]=_[уе]. (41) Если среднее арифметическое получено с округлением, то для контроля пользуются равенством [у2]=-[у^] + (/:-/о )М- (42) Средняя квадратическая ошибка округления чисел определяется по формуле т а 7з' (43) где о - предельная ошибка округления, равная половине единицы оставляемой цифры. 12. Определение средней квадратичеокой ошибки одного измерения по разностям двойных равноточных измерений. В целях контроля и повышения точности широко применяют двойные измерения, например, превышения определяют дважды по черной и красной сторонам рейки, линии измеряют вперед и обратно. При наличии двойных измерений можно сделать оценку точности. Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений. Найдем их разности. Разность между двумя измерениями одной и той же величины теоретически должны равняться нулю (если бы измерения были точными). Поэтому величину а1 можно рассматривать как истинную ошибку, а среднюю квадратическую ошибку разности двойных измерений вычислить по формуле… Величина <1 есть функция двух равноточных измерений, поэтому можно записать, где т - средняя квадратическая ошибка одного измерения. Отсюда Подставляя значение в (44), получим… Формула (45) справедлива для случая, когда в разностях нет систематических ошибок. При наличии систематических ошибок вычисляют систематическую ошибку © по формуле среднего арифметического. Затем из каждой разности исключают систематическую ошибку по формуле. Величину 0, можно рассматривать как поправку, но с другим знаком. Заменяя в (38) V на д, получим, Учитывая, что т = окончательно будем иметь… Контроль: Систематическую ошибку можно не исключать и делать оценку по формуле (45), если выполняется 13. Веса измерений и их свойства Соотношение между весами и средними квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического. При обработке неравноточных измерений пользуются дополнительной характеристикой точности измерений, называемой весом измерения. Вес измерения р - величина обратно-пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки этого измерения: к Р = — - (52) т В этой формуле к произвольное число, но при решении конкретной задачи одинаковое для всех измерений. Его стремятся выбрать таким, чтобы веса были близкими к 1. Поскольку к выбирается произвольно, при решении данной задачи все веса можно увеличивать или уменьшать в одно и то же число раз. Это является первым свойством весов. Пусть сделано два измерения с весами т.е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических ошибок. Это второе свойство весов. Найдем вес среднего арифметического, принимая вес р отдельного измерения равным единице. Обозначим вес среднего арифметического через Р. На основании (53) запишем… Подставляя получим… т.е. вес среднего арифметического равен числу равноточных измерений из которых оно получено, если вес каждого измерения принят равным единице. На этом основании любой результат измерений с весом р можно понимать как среднее арифметическое из ряда воображаемых равноточных измерений, каждое с весом единица, число которых было.
|
