Поправки и их свойства. Выражение средней квадратической ошибки через поправки. Средняя квадратическая ошибка округления

Поправка представляет собой разность между вероятнейшим значе­нием величины (средним арифметическим) и результатом ее измере­ния

Если арифметическая средина получена из п измерений, то можно записать:

V, =1-4 у2 =1ЛЪ

Сложим эти равенства.

Подставив получим п

Это одно из свойств поправок, которое используется для контроля вычисления значения I и самих поправок у. Если арифметическая сре­дина округлена и ошибка округления.

Величина \\^<И,5 единицы последнего разряда X, поэтому |[ у ]|<0,5 л в единицах того же разряда.

Указанные поправки обладают еще одним важным свойством

[/] = тш, (37)

т.е. сумма квадратов отклонений результатов измерений от среднего арифметического всегда меньше, чем от любого другого числа. По вероятнейшим поправкам можно определить среднюю квадратическую ошибку. Пусть некоторая величина X измерена я раз. Из результатов изме­рений получено среднее арифметическое. Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим. разделим на… Заменим истинную ошибку среднего арифметического среднейквадратическойи,учитывая. что [ у ]=0, получими Отсюда По этой формуле вычисляется средняя квадратическая ошибка од­ного измерения. Средняя квадратическая ошибка среднего арифмети­ческого найдется по формуле

Л/= /_0_. (39)

Вычисление величины [у2] контролируется по формулам

Й = -И1 (40)

или

[У2]=_[уе]. (41)

Если среднее арифметическое получено с округлением, то для кон­троля пользуются равенством

[у2]=-[у^] + (/:-/о )М- (42)

Средняя квадратическая ошибка округления чисел определяется по формуле

т

а

7з' (43)

где о - предельная ошибка округления, равная половине единицы ос­тавляемой цифры.

12. Определение средней квадратичеокой ошибки одного измерения по разностям двойных равноточных измерений.

В целях контроля и повышения точности широко применяют двой­ные измерения, например, превышения определяют дважды по черной и красной сторонам рейки, линии измеряют вперед и обратно. При на­личии двойных измерений можно сделать оценку точности. Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений. Найдем их разности. Разность между двумя измерениями одной и той же величины тео­ретически должны равняться нулю (если бы измерения были точными). Поэтому величину а1 можно рассматривать как истинную ошибку, а среднюю квадратическую ошибку разности двойных измерений вы­числить по формуле… Величина <1 есть функция двух равноточных измерений, поэтому можно записать, где т - средняя квадратическая ошибка одного измерения. Отсюда Подставляя значение в (44), получим… Формула (45) справедлива для случая, когда в разностях нет систематических ошибок. При наличии систематических ошибок вычисляют систематиче­скую ошибку © по формуле среднего арифметического. Затем из каждой разности исключают систематическую ошибку по формуле. Величину 0, можно рассматривать как поправку, но с другим зна­ком. Заменяя в (38) V на д, получим, Учитывая, что т = окончательно будем иметь… Контроль: Систематическую ошибку можно не исключать и делать оценку по формуле (45), если выполняется

13. Веса измерений и их свойства Соотношение между весами и средними квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического.

При обработке неравноточных измерений пользуются дополни­тельной характеристикой точности измерений, называемой весом из­мерения.

Вес измерения р - величина обратно-пропорциональная квадрату

средней квадратической ошибки этого измерения:

к

Р = — - (52)

т

В этой формуле к произвольное число, но при решении конкретной задачи одинаковое для всех измерений. Его стремятся выбрать таким, чтобы веса были близкими к 1.

Поскольку к выбирается произвольно, при решении данной задачи все веса можно увеличивать или уменьшать в одно и то же число раз. Это является первым свойством весов.

Пусть сделано два измерения с весами т.е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических ошибок. Это второе свойство весов. Найдем вес среднего арифметического, принимая вес р отдельного измерения равным единице. Обозначим вес среднего арифметического через Р. На основании (53) запишем… Подставляя получим… т.е. вес среднего арифметического равен числу равноточных измере­ний из которых оно получено, если вес каждого измерения принят равным единице. На этом основании любой результат измерений с весом р можно понимать как среднее арифметическое из ряда воображаемых равно­точных измерений, каждое с весом единица, число которых было.