Числовые характеристики точности измерений
В качестве теоретической характеристики точности измерений обычно пользуются средним квадратическим отклонением о. Поскольку величина а не известна, практически пользуются ее приближенным значением - средней квадратической ошибкой, определяемой по формуле, где Аь Аг, Д„- истинные ошибки измерений. При большом значении. При ограниченном числе измерений величина т будет характер изо» вать величину а с некоторой ошибкой. Для оценки точности определения самой средней квадратической ошибки существует формула. Оценку точности измерений характеризуют также предельной ошибкой, вычисляемой по формуле, где г - коэффициент, значение которого принимают таким, чтобы была мала вероятность появления ошибки больше предельной. Обычно для т принимают значения 3, 2,5. или 2. Этим значениям т соответствуют вероятности 0,003, 0,012, 0,046. Другими словами, на каждую тысячу измерений число ошибок, превосходящих по абсолютной величине предельную Дч,=3от, 2,5от, 2т в среднем приблизительно равно соответственно 3,12,46.В дальнейшем при решении задач по оценке точности измерений будем пользоваться формулой.Для оценки точности иногда пользуются средней ошибкой V и вероятной ошибкой г. Средняя ошибка вычисляется по формуле. При нормальном распределении она связана со средней квадратической ошибкой примерным соотношением. Если все ошибки расположить в ряд по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся в середине ряда будет вероятной. Со средней квадратической ошибкой она связана соотношением. Ошибка, выраженная в единицах измерения, называется абсолютной. Отношение ее к измеренной величине. 9. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин, Часто искомые величины получают путем вычислений по измеренным величинам, поэтому возникает необходимость оценивать точность функций измеренных величин. Возьмем линейную функцию, полагая, что все измерения независимы (ошибки измерений не коррелированы). Подставим вместо х точное значение X, получим точное значение функции Ц=кХ+с.. Найдем истинную ошибку функции и~Ц =к(х-Х), Аи=кАх.. При п измерениях получим. Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и разделим на л, получим. По определению средней квадратической ошибки. Рассмотрим функцию с двумя переменными. Рассуждая аналогично получим [/= кгХ+ к2У+с, Аи= А/Ддг+ к2Ау. При п измерениях получим &и/~ к1АХ}+ к2Ау/, Аи2= Л/Дх2+ к2Ау2г Ащ =к}Ахп+ к2Ауф. По свойству случайных ошибок. В результате получим г^и^к2,™2, +к27т2у. (22). Аналогичными рассуждениями можно обосновать формулу для оценки точности функции многих переменных Ш. А;х7+ км... + Ъг„ +с. (23) Д«= */ДХ;+ А^АХ;... + кА ^я +С. (24) т2и=к2,т21 +к22т22... к?пт2п. (25) IV. Для алгебраической суммы и=±х /±х2± • •. ±хл+ с, (26) формула (25) примет вид -да/ + да/+...+т/. (27) В случае равноточных измерений, когда т;=т2=...= т„ - т, получим /Яы = 0!^/*, (28) т.е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы п равноточных слагаемых в 4п раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого. V. Функция общего вида и^(хи хъ... Хп). (29) Найдем полный дифференциал функции аи = -^~Ох1 + -^А2+... + -^шгя. дхх дх2 дхп Из математики известно, что для аргумента сЬс и Ах равнозначны и при малых значениях Ах можно принять сЬ щ Аи. Поэтому Дм = —Ах. + — Ах, +... + — Дхя, дх, _ дхг дх„. Здесь частные производные, М_ и т.д. представляют собойпостоянные коэффициенты, которые можно вычислить по измеренным значениям аргументов. Заменяя их через А/, Л*... кп получим равенство вида (24) и по аналогии с (25) найдем. Эта формула является основой, другие, из приведенных выше, можно рассматривать как частный случай 10 Среднее арифметическое значение и его свойства Средняя квад-ратическоя ошибка арифметического среднего. Если одна и та же величина измерена с одинаковой точностью несколько раз, то за окончательное значение измеренной величины берут среднее арифметическое, определяемое по формуле. Для упрощения вычислений обычно вводят приближенное значение /о, вычисляют остатки $=7,-4? и пользуются формулой. Формула (32) легко получается из (31) путем замены /,=/0+г/. Среднее арифметическое из результатов равноточных измерений обладает следующими свойствами. 1. С увеличением числа измерений п арифметическая средина имеет тенденцию стремиться к точному значению величины X. Доказательство. Пусть сделано п измерений. Тогда Сложим и разделим на п. Получим По свойству случайных ошибок *гр.Х\тп^т — = 0. п Следовательно, Ь стремится к X. 2. Если среднее арифметическое образовано из результатов измерений свободных от систематических ошибок, то и само оно не содержит их. И наоборот. При отсутствии систематических ошибок математическое ожидание среднего арифметического равно точному значению измеренной величины. Для нахождения средней квадратической ошибки среднего арифметического, которое запишем в виде применим формулу. Поскольку измерения равноточны Следовательно Таким образом, средняя квадратическая ошибка среднего арифметического из п равноточных измерений в раз меньше ошибки одного измерения.
|
