Графическая интерпретация теории Кулона-Мора. Условие предельного равновесия

Приведённые выше положения наглядно иллюстрируются с помощью графического построения кругов напряжений Мора для предельного состояния. Пусть некоторый образец связного грунта испытывался в условиях плоской задачи (рис. 3.17.б) при постоянном значении минимального главного напряжения так, чтобы при некотором значении максимального главного напряжения σ₁ наступило его разрушение, т. е. в нём сформировались площадки скольжения. В координатных осях τ-σ; построим в соответствии с правилами курса сопротивления материалов круг напряжений Мора (рис. 3.18.).

 

 

Рис. 3.18. Круг напряжений и график сопротивления сдвигу связного грунта в условиях плоской задачи.

 

 

Отложим на оси τ; отрезок ОЕ, соответствующий сцеплению с данного грунта. Если теперь через точку Е провести касательную к кругу напряжений, пересекающуюся с осью σ;, то получим графическое изображение прямой, соответствующей уравнению сопротивления сдвигу связного грунта (3.40).

Действительно, из треугольника O’AC’ можно записать , т. е. , что соответствует уравнению (3.43). Поскольку в соответствии с построениями на рис. 3.18. , отсюда легко получить зависимость

. (3.40)

Можно также показать, что для любой точки на круге напряжений с координатами τ_α и σ_α соответствующими напряжениям на наклонной площадке, не находящейся в предельном состоянии, угол отклонения Θ; будет всегда меньше максимального угла отклонения (см. уравнения (3.46), (3.47)). Также отметим, что прямая сопротивления сдвигу не может пересекать круг напряжений, так как иначе пришлось бы допустить, что Θ; может быть больше φ; или, что то же самое, τ; может быть больше τ^пр, а это, как следует из рис. 3.16., физически невозможно.

Точка касания А прямой сопротивления сдвигу к кругу напряжений определяет наклон площадки скольжения к направлению главных напряжений. Поскольку треугольник O’AC прямоугольный, имеем . Отсюда получаем одно из двух условий выражения (3.42): . Так как главные напряжения взаимно перпендикулярны, это определяет и второе условие . Если же аналогичным образом рассмотреть и вторую касательную к кругу напряжений O’A’ на рис. 3.18., все эти рассуждения можно использовать и для второй сопряжённой площадки скольжения, показанной на рис. 3.17.в.

Из построений на рис. 3.18. легко получить следующее важное условие: так как , а , то, учитывая, что ; ; , имеем . (3.52)

Выражение (3.52) часто называют условием предельного равновесия связных грунтов, так как оно показывает предельное соотношение между главными напряжениями σ₁ и σ₃, при котором в данной точке массива грунта, характеризуемого параметрами прочности φ; и , наступает состояние предельного равновесия. Очевидно, что для сыпучих грунтов, для которых с=0, условие предельного равновесия будет иметь более простой вид

. (3.53)

Отметим, что если в какой-либо точке грунта имеет место такое соотношение главных напряжений, при котором правая часть уравнений (3.52) или (3.53) оказывается меньше величины Sinφ; данного грунта, это означает, что грунт в этой точке находится в допредельном состоянии по прочности. В этом нетрудно убедиться, построив соответствующий круг напряжений, так как он не будет касаться прямой сопротивления сдвигу. Соответственно условие, когда правая часть приведённых уравнений оказывается больше величины Sinφ;, физически невозможно, поскольку величина Θ не может быть больше φ;.

Если учесть, что главные напряжения выражаются через компоненты напряжений с помощью известных зависимостей

, (3.54)

То уравнение (3.52) можно записать в виде

. (3.55)

Это условие используется при решении задач теории предельного равновесия. Аналогичным образом выражается уравнение (3.53)

. (3.56)

3.4.4. Сопротивление грунта сдвигу при трёхосном сжатии.

Опыты на трёхосное сжатие позволяют испытывать образцы любых грунтов при обжатии их наперёд заданным боковым давлением, что ближе отвечает работе грунта в природных условиях и даёт наиболее надёжные результаты определения их прочностных и деформационных характеристик.

Испытания грунта на трёхосное сжатие обычно проводят в стабилометрах (рис. 3.19).

 

 

Рис. 32.19. Схема стабилометра.

1 – кран;

2 – штамп;

3 – манометр;

4 – образец грунта;

5 – индикатор часового типа;

6 – резиновая оболочка;

7 – рабочая камера;

8 – волюмометр.

Цилиндрический образец грунта (4) помещается в рабочую камеру прибора (7), заполненную водой или глицерином. Для того, чтобы предохранить образец от поступления жидкости, его окружают тонкой резиновой оболочкой (6). Нормальное напряжение σ₁ создаётся в образце через штамп (2) с помощью нагрузочного устройства. Боковое напряжение осуществляется созданием в жидкости рабочей камеры гидростатического давления. Измерение давления в камере производится манометром (3), вертикальных перемещений образца – индикаторами (5). Для отжатия воды из образца в процессе испытания или, наоборот, его насыщения используется система дырчатых штампа и поддона с трубками, прикрытыми кранами (1). Для вычисления горизонтальных перемещений используется тонкая градуированная трубка (волюмометр 8), снабжённая краном (1) и позволяющая определить объём жидкости, вытекающей из рабочей камеры прибора, что соответствует объёмной деформации образца.

Испытания в стабилометре проводятся для изучения деформационных и прочностных характеристик грунтов. Причём в первом случае опыт можно проводить как в условиях компрессионного испытания, так и по схеме трёхосного сжатия. В случае компрессионного испытания кран волюмометра перекрывается, производится вертикальное нагружение образца и с помощью манометра определяются возникающие в результате горизонтальные напряжения . Это позволяет для любой ступени нагружения по формуле (3.18) вычислить соответствующие значения коэффициента бокового давления и коэффициент Пуассона. При испытаниях по схеме трёхосного сжатия кран волюмометра остаётся открытым. По показаниям индикаторов рассчитывают вертикальную деформацию ε₁, по уменьшению объёма жидкости в рабочей камере – боковые деформации , по показаниям манометра – соответствующие им боковые напряжения и с использованием уравнений (3.26) и (3.27) находят значения модуля объёмного сжатия К и модуля сдвига G.

Прочностные характеристики грунта в стабилометре определяют испытанием нескольких образцов-близнецов. Для этого в каждом испытании к образцу прикладывается постоянное, но разное для различных образцов боковое давление. Для каждого из этих образцов определяется значение σ₁, соответствующее разрушению. Затем по результатам испытаний строят круги предельных напряжений (рис. 3.20.). Касательная к этим кругам позволяет определить параметры сопротивления грунта сдвигу φ; и с. Для песчаного грунта достаточно проведения одного опыта, так как при с=0 касательная к кругу Мора в этом случае выходит из начала координат (рис. 3.20.а). Уравнения касательных к кругам напряжений для связных и сыпучих грунтов, (3.52) и (3.53), соответственно, выведены ранее.

 

Рис. 3.20. Определение прочностных характеристик грунта по опытам в стабилометре:

а) связный грунт;

б) сыпучий грунт.