Абсолютная, относительная и приведенная погрешности

Под абсолютной погрешностью понимается алгебраическая разность между номинальным и действительным значениями измеряемой величины. - абсолютные погрешности (см.рис.2.1).

Однако в большей степени точность средства измерений характеризует относительная погрешность, т.е. выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой или воспроизводимой данным средством измерений величины. - относительные погрешности.

Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, то относительная погрешность обращается в бесконечность в соответствующей ему точке шкалы. В этом случае пользуются понятием приведенной погрешности, равной отношению абсолютной погрешности измерительного прибора к некоторому нормирующему значению. В качестве нормирующего значения принимается значение, характерное для данного вида измерительного прибора. Это может быть, например, диапазон измерений, верхний предел измерений, длина шкалы и т.д. - приведенные погрешности, где и - диапазон изменения величин. Выбор и в каждом конкретном случае разный из-за нижнего предела (чувствительности) прибора.

 

Рис. 2.1

Класс точности прибора — предел (нижний) приведенной погрешности.

 

 

Вопрос 49

Оценка точности измерений. Погрешности: средняя квадратическая и предельная, абсолютная и относительная.

Результаты измерений – числа приближенные, неточные. Возникает задача оценки точности результатов измерений.Под точностью измерений понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины.Точность результата измерений зависит от условий измерений. Результаты измерений, полученные в одинаковых условиях называются равноточными. Мерой точности равноточных измерений является стандарт m согласно свойству рассеивания случайных ошибок.

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории ошибок служит предложенная Гауссом средняя квадратическая ошибка m, вычисляемая по формуле

(5.2)

где п - число измерений данной величины.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.

Абсолютная погрешность измерения (англ. absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения (англ. relative error) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.
Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

,

где: δx - абсолютная погрешность измерений; x - действительное или измеренное значение величины.

 

Вопрос 53

Арифметическая середина. Вывод формулы средней квадратической погрешности арифметической середины.

Часто приходится производить оценку точности арифметической средины

полученной по формуле из ряда равноточных измерений l1,l2,...ln.
L является функцией вида n=kx1+kx2+...+kxn.
При k=1/n и равноточных измерениях, когда

, среднюю квадратическую ошибку М арифметической средины L вычисляют по формуле:

Так как k=1ln, то

или

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины получается делением средней квадратической ошибки отдельного измерения на корень квадратный из числа измерений. Однако было бы неправильным считать, что при очень большом числе измерений величина М может быть доведена до сколь-угодно малого значения. Так, например, при использовании на работах 30-секундного теодолита значительное увеличение числа приемов даст лишь незначительное повышение точности результата, и, кроме того, при всяких измерениях остается более или менее заметное влияние систематических ошибок, которое не может быть исключено увеличением числа измерений.

Вопрос 54

Понятие о неравноточных измерениях, общей арифметической середине и ее средней квадратической погрешности.

Если измерения выполнялись не в одинаковых условиях, то результаты нельзя считать одинаково надежными. Такие измерения называют неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным и техническим теодолитом. Результаты данных измерений будут неравноточными.

Мерой сравнения результатов при неравноточных измерениях, т.е. мерой относительной ценности полученных неравноточных результатов является вес результата измерения.

Вес выражает как бы степень доверия, оказываемого данному результату по сравнению с другими результатами.

Чем надежнее результат, тем больше его вес. Вес определяется как величина обратная квадрату средней квадратической ошибки

Если, например, имеется два неравноточных значения длины линии 220,35 ± 0,1 м, 220,35 ± 0,2 м, то в качестве весов Р₁ и Р₂ могут быть приняты числа:

Веса можно умножать или делить, но на одно и тоже число. Разделив вычисленные в примере веса на 25, получим р₁ = 4 и р₂ = 1.

Так как р₁ > р₂, то первое измерение более точное.

Допустим имеется ряд равноточных результатов измерений , для которых рассчитаны средняя квадратическая ошибка m, среднее арифметическое ряда измерений и средняя квадратическая ошибка М. На основании определения веса, весом p отдельного измерения и весом арифметической средины P будут

Умножив веса на m ², имеют Р = 1, Р = n, следовательно, вес арифметической средины больше веса отдельного измерения в n раз, n – число измерений, из которых вычислена данная арифметическая средина.

Иначе, весом результата измерения называется число равноточных измерений, из которых получен данный неравноточный результат измерения как среднее арифметическое.

Рассмотрим вывод формулы общей арифметической средины или весового среднего.

Пусть величина имеет ряд равноточных измерений:

Р₁, Р₂..... Р_к, - не одинаковое число измерений. Так как измерения равноточные, то для получения вероятнейшего значения, необходимо образовать из всех результатов измерений среднее арифметическое

Разбив теперь рассматриваемый ряд равноточных измерений на k групп, образуем средние арифметические по группам L', L''..... L^(к). Полученные арифметические средние можно рассматривать как новые результаты измерений той же величины, но уже неравноточные. Таким образом, вместо первоначального ряда равноточных измерений для некоторой величины мы получили новый ряд неравноточных измерений L', L''..... L^(к), с весами Р₁, Р₂..... Р_к. По данным неравноточным измерениям арифметическое среднее l _p определяют по формуле

Полученное значение называется общей арифметической среди-ной или весовым средним.

Общая арифметическая средина из данных неравноточных измерений равна сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов. Она является вероятнейшим значением измеряемой величины.

Аналогично тому, как при равноточных измерениях, для оценки точности отдельного результата и арифметической средины, при оценке неравноточных измерений определяют среднюю квадратическую ошибку единицы веса:

и среднюю квадратическую ошибку весового среднего

где – уклонения отдельных результатов измерений от общей арифметической средины. Для контроля правильности вычислений используется свойство

Для контроля правильности вычислений используется свойство

.