Линейная корреляция

Проблема. Атеросклероз - системное заболевание, поражающее артерии эластического (аорта и ее ветви) и мышечно-эластического (артерии сердца, головного мозга и др.) типов. Атеросклероз является ведущей причиной заболеваемости и смертности во многих развитых странах. В диагностике цереброваскулярных заболеваний в настоящее время превалируют ультразвуковые методы исследования, используемые для оценки кровотока в крупных и средних сосудах головы и шеи. В частности, ультразвуковое дуплексное сканирование позволяет достоверно определять скорость движения крови по сосудам, выявлять участки сужения (стеноза просвета) артерий головного мозга, участки с нарушенным кровотоком. Этот метод - один из самых достоверных в диагностике атеросклероза сосудов головного мозга. В свою очередь, одним из наиболее информативных ранних маркеров атеросклероза является увеличение толщины комплекса интима-медиа (КИМ) в общей сонной артерии. В связи с этим стояла задача изучения взаимосвязеймежду показателями кровотока в церебральных артериях и функцией эндотелия при атеросклерозе сосудов головного мозга.

Обратимся к диаграмме на рисунке 24, на которой представлены значения роста и веса 14 испытуемых, отложенные на соответствующих осях, а на их пересечении поставлены точки. Эта диаграмма носит название диаграммы рассеяния. Из нее видно, что при увеличении роста вес также увеличивается, хотя это бывает не всегда – из практики мы знаем, что встречаются маленькие полные и высокие худые люди. Но общая тенденция все же такая, и мы можем даже провести воображаемую линию, по которой происходят изменения. То есть между ростом и весом имеется определенная связь – изменение роста приводит к изменению веса, и эта связь носит линейный характер.

 

Рисунок 24

Степень выраженности связи между случайными величинами отражает понятие корреляция. Количественно взаимосвязь между случайными величинами определяет коэффициент корреляции – r.

• Коэффициент корреляции лежит в пределах - 1 ≤ r ≤ 1.

• Если r>; 0, то связь прямая - с увеличением значений одной величины другая также в среднем возрастает.

• Если r < 0, то связь обратная - с увеличением величины Х₁ соответствующие им значения X₂ в среднем также уменьшаются.

Значения линейного коэффициента корреляции и характер связи

 

r = -1	обратно пропорциональная
-1< r < -0,7	обратная сильная
-0,7 ≤ r ≤ -0,5	обратная средняя
-0,5 < r < 0	обратная слабая
r = 0	отсутствует
0 < r < + 0,5	прямая слабая
+0,5 ≤ r ≤ +0,7	прямая средняя
+ 0,7< r < + 1	прямая сильная
r = +1	прямо пропорциональная

 

Оценить корреляцию между признаками можно и по диаграмме рассеяния. Чем ближе точки на графике к прямой линии, тем больше коэффициент корреляции (рисунок 25). При прямой связи воображаемая линия направлена слева на право вверх, при обратной – слева на право вниз. В случае r = ±1 все точки диаграммы лежат на одной прямой линии – значит одна величина на сто процентов зависит от другой.

 

 

Рисунок 25

 

Корреляция может быть и нелинейной как это видно из рисунка 26, на котором отражена зависимость ЧСС от возраста.

 

Рисунок 26

 

Надо помнить, что корреляция выражает лишь математическую связь и, опираясь только на него, нельзя делать выводы о причинно-следственных отношениях. Например, может получиться высокий коэффициент корреляции между массой тела и знанием биостатистики, однако вряд ли одно является следствием другого, возможно оба признака меняются под воздействием третьего – возраста человека.

В статистике используются параметрические и непараметрические коэффициенты корреляции. Для двух количественных случайных величин Х₁ и Х₂ (n -объем каждой выборки), если они нормально распределены, их линейную взаимосвязь можно вычислить используя параметрический коэффициент корреляции Пирсона

 

 

 

Одной из задач корреляционного анализа является проверка коэффициента корреляции на значимость. Дело в том, что выборочный коэффициент корреляции отличается от генерального, т.е. имеет определенную ошибку. При этом не исключена возможность, что взаимосвязь между величинами вовсе отсутствует. Поэтому требуется проверка нулевой гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции

Н(0): r =0

Проверяется гипотеза по критерию Стъюдента:

 

 

Критическое значение критерия находится по таблице для заданного уровня значимости α; и числа степеней свободы f=n-2 (Приложение 2).

Если │ t_выч│≥ t_крит то принимается Н(1) и делается вывод, что между величинами существует значимая корреляция.

Если │ t_выч│< t_крит то принимается Н(0) и делается вывод о независимости исследуемых величин (коэффициент корреляции незначим).

Полезно также вычислять величину r² (в %). Она показывает, какая доля изменчивости одной величины объясняется влиянием другой величины.