Методы простой экстраполяции

Метод среднего уровня ряда – прогнозируемый уровень изучаемой величины принимается равным среднему значению уровней ряда этой величины в прошлом. Этот метод используется, если средний уровень не имеет тенденции к изменению, или это изменение незначительно (нет явно выраженного тренда, рисунок 32А)

 

Где y_i – значение i- ого уровня

n – база прогноза

В некотором смысле отрезок динамического ряда, охваченный наблюдением, можно уподобить выборке, а значит полученный прогноз будет выборочным, для которого можно указать доверительный интервал

 

 

где – среднеквадратичное отклонение временного ряда

t_α –критерий Стъюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n- 1).

 

Пример. В таблице приведены данные временного ряда y(t). Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =13 методом среднего уровня ряда   t yi   прогноз                     (80+98)/2       (80+98+94)/3 90,7     (80+98+94+103)/4 93,8     (80+98+94+103+84)/5 91,8     (80+98+94+103+84+115)/6 95,7     (80+98+94+103+84+115+98)/7 96,0     (80+98+94+103+84+115+98+113)/8 98,1     (80+98+94+103+84+115+98+113+114)/9 99,9     (80+98+94+103+84+115+98+113+114+87)/10 98,6     (80+98+94+103+84+115+98+113+114+87+107)/11 99,4     (80+98+94+103+84+115+98+113+114+87+107+85)/12 98,2       Доверительный интервал для прогноза в момент t =13   yпрог n t0.05 s Нижний предел 95ДИ% Верхний предел 95ДИ% 98,2   2,2 12,4 69,7 126,7

 

Метод скользящих средних – метод прогнозирования на краткосрочный период, основан на процедуре сглаживания уровней изучаемой величины (фильтрации). Преимущественно используются линейные фильтры сглаживания с интервалом m т.е.

 

 

Доверительный интервал

 

где – среднеквадратичное отклонение временного ряда

t_α –критерий Стъюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n- 1).

 

Пример. В таблице приведены данные временного ряда y(t). Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =13 методом скользящих средних с интервалом сглаживания m = 3.   t yi   прогноз                             (80+98+94)/3 90,7     (98+94+103)/3 98,3     (94+103+84)/3 93,7     (103+84+115)/3 100,7     (84+115+98)/3       (115+98+113)/3 108,7     (98+113+114)/3 108,3     (113+114+87)/3 104,7     (114+87+107)/3 102,7   прогноз (87+107+85)/3     Исходный и сглаженный ряд представлены на рисунке       yпрог n m t0.05 s Нижний предел 95ДИ% Верхний предел 95ДИ%       2,2 12,4 61,4 124,6

 

Метод экспоненциального сглаживания – в процессе выравнивания каждого уровня используются значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. По мере удаления от какого-то уровня вес этого наблюдения уменьшается. Сглаженное значение уровня на момент времени t определяется по формуле

 

где S_t – текущее сглаженное значение;

y_t – текущее значение исходного ряда;

S_{t – 1} – предыдущее сглаженное значение;

α; - сглаживающая параметр

S₀ берется равным среднему арифметическому нескольких первых значений ряда

Для расчета α предложена следующая формула

 

По поводу выбора α нет единого мнения, эта задача оптимизации модели пока еще не решена. В некоторых литературных источниках рекомендуется выбирать 0,1 ≤ α ≤ 0,3.

Прогноз рассчитывается следующим образом

 

 

Доверительный интервал

 

Пример. Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =11 методом экспоненциального сглаживания. Зададим α=0,3, S0 – среднее значение по трем первым членам ряда.   t yi   St     (80+98+94)/3 90,7     0,3*80+(1-0,3)*90,7 87,5     0,3*98+(1-0,3)*87,5 90,6     0,3*94+(1-0,3)*90,6 91,6     0,3*103+(1-0,3)*91,6 95,0     0,3*84+(1-0,3)*95 91,7     0,3*115+(1-0,3)*91,7 98,7     0,3*98+(1-0,3)*98,7 98,5     0,3*113+(1-0,3)*98,5 102,8     0,3*114+(1-0,3)*102,8 106,2     0,3*87+(1-0,3)*106,2 100,4     0,3*107+(1-0,3)*100,4 102,4     0,3*85+(1-0,3)*102,4 97,2   прогноз 97,2+0,3*(85-97,2) 93,5   yпрог n α; t0.05 s Нижний предел 95ДИ% Верхний предел 95ДИ% 93,5   0,3 2,2 12,4 63,8 123,2

 

Рассмотренные методы прогнозирования являются простейшими, и в тоже время самыми приближенными – это видно из широких доверительных интервалов в приведенных примерах. Большая погрешность прогноза наблюдается в случае сильных колебаний уровней. Также неправомерно использовать эти методы при наличии явной тенденции к росту (или падению) исходного временного ряда. Но все же для краткосрочных прогнозов их применение бывает оправданным.