Пример 2. Расчет электрической цепи методом узловых и контурных уравнений

Для цепи на рис. 17 дано: E₁ = 60 В; Е₂ = 10 В; Е₃ = 40 В; R₁ = 98 Ом; R₂ = 99 Ом; R₃ = 8 Ом; R₄ = 100 Ом; R₅ = 11 Ом;

r₀₁ = 2 Ом; r₀₂ = r₀₃ = 1 Ом;

Определить токи во всех ветвях.

Рисунок 17

Решение. Задаемся произвольно направлением токов 1_ь 1₂,1з в ветвях.

Этот метод основан на применении первого и второго законов Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

Составляем систему уравнений, применяя законы Кирхгофа. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов). В нашей цепи для нахождения трех токов, нужно иметь три уравнения.

Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с n узлами можно составить (n - 1) независимых уравнений.

В схеме два узла (В и Ж), значит уравнений для узлов n - 1 = 2-1 = 1. Составляем одно уравнение по первому закону Кирхгофа, например, для узла В

I₁ + I₂ = I₃

Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, выбрав для этого контуры АБВЖА и ВГДЖВ (чтобы уравнения были независимыми, в каждый следующий контур должна входить одна новая ветвь, не входящая в предыдущие).

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур АБВЖА (обход по часовой стрелке):

E₁ –E₂ = I₁ (R₁ + R₄ + r₀₁) - I₂ • (R₂ + r₀₂).

Контур ВГДЖВ (обход по часовой стрелке):

Е₂ + Е₃ = I₃ • (R₃ + R₅ + r₀₃) + I₂ • (R₂ + r₀₂).

ЭДС в контуре берется со знаком (+), если направление ЭДС совпадает с обходом, если не совпадает - знак (-). Падение на­пряжения на сопротивлении контура берется со знаком (+), если направление тока в нем совпадает с обходом контура, если не совпадает - знак (-).

Получим систему из трех уравнений:

Подставив исходные данные в полученную систему уравнений, и решив последнюю, получим величины токов в отдельных ветвях схемы. В случае если в результате решения отдельные токи имеют знак минус (отрицательные) это свидетельствует о том что предварительно выбранное направление соответствующего тока неверное (ток протекает в противоположном направлении) и направление протекания тока в соответствующей ветви необходимо изменить на обратное.

Если все токи в расчетах получились со знаком (+), следовательно, направления токов в ветвях были выбраны правильно.

Для проверки расчета составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, не входящего в систему, и подставим в это уравнение полученные значения токов. Если уравнение справедливо, следовательно, расчет произведен правильно.