Редуцирование расстояний и направленний с элипсоида на плоскость

Редуцирование расстояний с эллипсоида на плоскость.

Для перехода от длины геодезической линии на эллипсоиде к её длине на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера применяется формула

где средний масштаб изображения.

Точность определения масштаба изображения зависит от длины линии и её удаления от осевого меридиана зоны, т.е. от величины средней ординаты концов линии, .

В геодезических сетях 1 класса длина линии на плоскости вычисляется до 0,001 м по формуле

где , средний радиус кривизны земного эллипсоида, выбирается по средней широте стороны.

В геодезических сетях 2 класса применяется более простая формула

В геодезических сетях низших классов достаточно ограничиться формулой

Для вычисления длин линий на плоскости в сетях 1, 2 и 3,4 классов необходимо знать ординаты соответственно с точностью 1м, 10 м и 0,1 км; ошибка в абсциссах не влияют на точность вычислений.

 

Вычисление поправок в горизонтальные направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости.

Поправки в прямое и обратное направления на пунктах триангуля-ции и полигонометрии 1 класса вычисляют до 0,001", при длинах сторон до 60 км применяют формулы

где .

В формуле () величины и выражают в километрах, ординаты отсчитывают от осевого меридиана.

Для триангуляции и полигонометрии 2 – 4 классов формулы () упрощаются и принимают вид

При км и км формулы могут быть использованы и в триангуляции 1 класса.

Формулы часто записывают в виде

При вычислении поправок с точностью порядка 0,1" можно пользоваться более простой формулой

.

Вычисленные поправки в горизонтальные направления за кривизну изображения геодезической линии на плоскости алгебраически прибавляются к значениям измеренных направлений.

Введением поправок в измеренные направления осуществляется переход от углов между криволинейными сторонами треугольника к углам между хордами, стягивающими концы этих сторон. Вследствие этого сумма углов в треугольнике уменьшается на величину его сферического избытка ε. Это обстоятельство используется в качестве контроля вычислений данных поправок: сумма поправок в углы А, В, С треугольника должна быть равна его сферическому избытку с обратным знаком, т.е.

где в углы находятся как разности поправок правого и левого направлений, образующих данный угол, .

Наиболее высокие требования к точности определения прямоугольных координат, необходимые для редукции расстояний и направлений на плоскость, предъявляются в триангуляции и полигонометрии 1 класса (1 – 2 м). Но вычисление координат с ошибками 1 – 2 м требует уже введения приближённых поправок и в длины сторон и направления, которые вычисляются по приближённым координатам. Таким образом, координаты и поправки для приведения триангуляции и полигонометрии 1 класса на плоскость находят последовательными приближениями.

 

Переход от геодезических азимутов к дирекционным углам.

Дирекционный угол хорды соединяющей точки 1 и 2 на плоскости при заданном азимуте геодезической линии на поверхности эллипсоида между этими точками, вычисляют по формуле

где гауссово сближение меридианов в точке 1; поправка за кривизну изображения геодезической линии, вычисляемая по формуле () или ().

Для вычисления сближения меридианов в заданной точке можно использовать формулы (8.2), (8,3), (8,4). Для эллипсоида Красовского в триангуляции 1 класса, когда угол надо знать до 0,001", сближение меридианов вычисляют по прямоугольным координатам по формуле

где

 

Если заданы геодезические координаты точки то используют формулу

где

Знак сближения меридианов совпадает со знаком разности долгот где долгота осевого меридиана зоны, долгота точки.