Вопрос 18. Приложения определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой

Рассмотрим непрерывную функцию y=f(x). Найдем длину дуги графика функции при x€(a,b). Для этого разобьем длину дуги АВ на n равных частей длины ∆l. Длина каждой части примерно равна гипотенузе треугольника с катетами ∆x и ∆y, значит ∆l= √∆x^2+∆y^2

 

Тогда чтобы достичь точности вычисления устремим n→∞ тогда ∆l→0, ∆l=dl. Тогда

dl= √dx^2+dy^2

 

Длина дуги АВ=∆l+∆l+…+∆l- интегральная сумма. Тогда при n , ∆l→0 получаем по определению определенный интеграл

AB= ∫(ot a do b)1dl= ∫(ot a do b)√dx^2+dy^2= ∫(ot a do b)√dx^2+(f’(x)dx)^2= ∫(ot a do b) √dx^2+f’(x))^2dx^2= ∫(ot a do b) √(dx^2(1+f’(x))2= ∫(ot a do b) √1+(f’(x))^2dx

 

AB= ∫(ot a do b) √1+(f’(x))^2dx

Пример:

Вопрос 19. Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел. (?)

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:

Вопрос 20. Несобственные интегралы. (?)

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

 

· Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [ a,b ].