Вопрос 18. Приложения определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой
Тогда чтобы достичь точности вычисления устремим n→∞ тогда ∆l→0, ∆l=dl. Тогда dl= √dx^2+dy^2
Длина дуги АВ=∆l+∆l+…+∆l- интегральная сумма. Тогда при n AB= ∫(ot a do b)1dl= ∫(ot a do b)√dx^2+dy^2= ∫(ot a do b)√dx^2+(f’(x)dx)^2= ∫(ot a do b) √dx^2+f’(x))^2dx^2= ∫(ot a do b) √(dx^2(1+f’(x))2= ∫(ot a do b) √1+(f’(x))^2dx
AB= ∫(ot a do b) √1+(f’(x))^2dx Пример:
Вопрос 19. Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел. (?) Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:
Если криволинейная трапеция прилежит к оси
Вопрос 20. Несобственные интегралы. (?) Определенный интеграл · Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
· Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [ a,b ].
|
Рассмотрим непрерывную функцию y=f(x). Найдем длину дуги графика функции при x€(a,b). Для этого разобьем длину дуги АВ на n равных частей длины ∆l. Длина каждой части примерно равна гипотенузе треугольника с катетами ∆x и ∆y, значит ∆l= √∆x^2+∆y^2
, ∆l→0 получаем по определению определенный интеграл
, 
, осью 
и функцией 
.
(прямые 
, 
, ось 
), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:
называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
