Вопрос 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

9. LJNEP Chemicals 2000. Master list of actions on the reduction and/or elimination of the releases of persistent organic pollutants. Geneva, 2000

10. WWF. Persistent organic pollutants: hand me down poisons that threaten wildlife and people. Washington, 1999

Вопрос 2. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование.

Найдем частные производные ∂z/∂x; ∂z/∂y. Это тоже ф-ции, значит можно найти их частные проиводные. ∂z/dx(∂z/∂x)= ∂^2z/∂x^2- это частная производная ф-ции z по переменному x 2-го порядка.

Аналогично ∂z/dy(∂z/∂y)= ∂^2z/∂y^2- частная производная по у 2-го порядка.

Если же частную производную по х дифференцировать по у то полученная производная наз-ся смешанной частной производной 2-го порядка.

∂z/dx(∂z/∂у)= ∂^2z/∂x*∂у

Частные производные можно обозначить: ∂^2f/∂x^2=f’’xx(x,y);

 

∂^2f/∂y^2=f’’yy(x,y); ∂^2f/∂y*∂x=f’’xy (x,y); ∂^2f/∂x*∂y=f’’yx (x,y);

Геометрическое истолкование:

Для простоты рассмотрим функции от 2-х переменных z=f(x,y). Зафиксируем переменную. Дадим х приращение ∆х. найдем приращение ф-ции f

∆xf=f(x+∆x;y)-f(x,y). Такое приращение называется частным приращением по переменному х. предел отношения частного приращения по переменному х к приращению аргумента ∆х при ∆х→0, называется частной производной функции по переменному х и обозначается

 

Lim(∆x→0)∆xf/∆x=fx’(x,y)=df/dx

 

 

Зафиксируем переменную х. найдем приращение ф-ции ∆yf

∆yf=f(x,y+∆y)-f(x,y)-частное приращение по переменному у.

Предел отношения частного приращения функции по переменному у к приращению аргумента ∆у при ∆у→0 называется частной производной ф-ции по переменному у

Lim(∆y→0)∆yf/∆y=f’y ∂f/∂y

Вопрос 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции.

Опр: дифференциалом ф-ции z=f(x,y) наз-ся выражение вида dz=dz/dx*dx+ dz/dy * dy

Опр: дифференциалом ф-ции z=f(x,y) 2-го порядка наз-ют выражение вида: d^2z=d^2z/dx^2 * dx^2 + 2 (d^2z/dx*dy) * dx*dy + (d^2z/dy^2) *dy^2y

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y). Составим полное приращение функции в точке М:

∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x,y)

 

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке M(x,y), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

∆z=A*∆x+B*∆y+a*∆x+β*∆y

A=a(∆x,∆y)→0 и β=β(∆x,∆y)→0 при ∆x→0, ∆y→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции..

Главная часть приращения функции z=f(x,y), линейная относительно ∆x→0, ∆y→0, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символомdz:

∆z=A*∆x+B*∆y

ВыраженияA*∆x и B*∆y называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают∆x= ∂ xи∆y= ∂ y. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

Dz=Adx+Bdy