Вопрос 39. Линейно независимая на интервале система функций. Вронскиан. Примеры. Необходимое условие линейной зависимости системы функций

Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Вопрос 40. Линейные однородные дифференциальные уравнения n – порядка, фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ. (?)

Рассмотрим уравнение вида

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1)

2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция у₁ является решением уравнения, то функция Су₁, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у₁ и у₂ являются решениями уравнения, то у₁ +у₂ также является его решением.

 

Определение: Фундаментальной системой решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Теорема. Если задано уравнение вида и известно одно ненулевое решение у = у_{^ 1}, то общее решение может быть найдено по формуле:

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

 

Вопрос 41. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации. Вывод для случая уравнений 2-го порядка. (???)

Метод вариации произвольной постоянной при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка состоит из 3-х этапов:

1. В первую очередь определяют общее решение соответствующего ЛОДУ y’+P(x)*y=0 в виде Y= C* e ^ (- ∫p(x) dx),

2. Потом варьируем произвольную постоянную С, т.е., заменяем функцией С(x),

3. Конечный шаг: функцию Y= C* e ^ (- ∫p(x) dx), подставляем в начальное ДУ и из него определяем C(x) и записываем ответ.

 

Нахождение частного решения в случае произвольной правой части f(x)

Рассмотрим неоднор. Д.у. 2-го порядка a˳y’’+a1y’+a2y=f(x)

Найдем общее решение однородного д.у. соответствующего данному неоднородному:

a˳y’’+a1y’+a2y=0

общее решение всегда имеет вид: Y=C1y1+C2y2

Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения применяют метод вариации постоянной Лагранжа. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде Y=C1(x)y1+C2(x)y2. Для этого подставим Y в исходное неоднородное уравнение.

 

Вопрос 42. Линейное однородное дифференциальное уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Общая структура общего решения для случая действительных и различных корней характеристического уравнения.

Это уравнение вида

a˳y^(n) + a1y^(n-1)+a2*y^(n-2)… any= f(x)

где a˳, a1, a2…an –числа

если f(x) ≡0 то уравнение называется однородным

рассмотрим уравнение второго порядка:

a˳y’’+a1y’+a2y=f(x)

решение такого д.у. имеет вид:

Y=yo.o+y ч.н., где

Y o.o- это общее решение однородного уравнения

a˳y’’+a1y’+a2y=0

cоответствующего данному неоднородному уравнению

y ч.н. – это любое частное решение данного неоднородного уравнения

 

Решения однородных линейных д.у. с постоянными коэфициентами

Рассмотрим д.у. 2-го порядка a˳y’’+a1y’+a2y=0

Решение было предложено Эйлером в виде:

Y=e^ƛx

Тогда при подстановке этого решения должно получаться верное равенство

Для подстановки находим у’’, y’

Y’=e^ƛx*ƛ

Y’’= e^ƛx*ƛ^2

Уравнение тогда примет вид:

a˳ e^ƛx*ƛ^2+a1* e^ƛx*ƛ+a2* e^ƛx=0

e^ƛx(a˳ƛ^2+a1ƛ+a2)=0

e^ƛx – решений нет

a˳ƛ^2+a1ƛ+a2=0 – называется характеристическим

Корни характеристического уравнения находим с помощью дискриминанта(для уравнений больших порядков используем методы разложения многочлена на множители)

Общее решение однородного уравнения выписываем в зависимости от типа корней характеристического уравнения: