Аксиома полноты. Пример неполных множеств
Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества
Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:
Легко видеть, что для любых элементов Доказательство иррациональности Применим доказательство от противного: допустим,
Отсюда следует, что
Следовательно,
|
и 
, такие что для любых двух элементов 
и 
выполняется неравенство 
, существует такое число 
, что для всех 
и 
таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число 
. Однако рационального числа 
, но оно не является рациональным.
, где 
и 
— целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.
чётно, значит, чётно и 
, где 
целое. Тогда
чётно, значит, чётно и 
