Аксиома полноты. Пример неполных множеств

Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества и таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов (кроме, возможно, самого ) и левее всех элементов (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов и выполняется неравенство . Однако рационального числа , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только , но оно не является рациональным.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.