Одномерный случай. Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательностьДокажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам. Пусть дана ограниченная числовая последовательность
Разделим отрезок Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков
в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности Длины отрезков стремятся к нулю:
По построению на каждом отрезке
соблюдая при этом условие возрастания номеров:
Тогда подпоследовательность
|
Из ограниченности последовательности следует, что все ее члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим 
.
. На следующем шаге повторим процедуру с отрезком 
.
.
В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка 
, принадлежащая всем отрезкам:
лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность
сходится к точке 
до 
