Одномерный случай. Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

Из ограниченности последовательности следует, что все ее члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим .

Разделим отрезок пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его . На следующем шаге повторим процедуру с отрезком : разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его .

Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков

в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности .

Длины отрезков стремятся к нулю:

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам:

По построению на каждом отрезке лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность сходится к точке . Это следует из того, что расстояние от до не превосходит длины содержащего их отрезка , откуда